高中阶段常见函数性质汇总函 数 名 称:常数函数解析式 形 式:f (x )＝b (b ∈R) 图象及其性质:函数f (ｘ)得图象就是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)得直线定 义 域:R值 域:{b} 单 调 性:没有单调性奇 偶 性:均为偶函数[当ｂ=0时,函数既就是奇函数又就是偶函数］反 函 数:无反函数周 期 性:无周期性函 数 名 称:一次函数解析式 形 式:ｆ(x )=kx +ｂ (k ≠0,ｂ∈Ｒ) 图象及其性质:直线型图象、｜k ｜越大,图象越陡;|k ｜越小,图象越平缓;当b =0时,函数ｆ(ｘ)得图象过原点;当b =０且k ＝１时,函数ｆ(x )得图象为一、三象限角平分线;当ｂ=0且k =－1时,函数f (x )得图象为二、四象限角平分线;定 义 域:Ｒ值 域:R单 调 性:当k ＞0时,函数f (x )为Ｒ上得增函数;当k<0时,函数f (ｘ)为Ｒ上得减函数;奇 偶 性:当ｂ＝0时,函数ｆ(x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (ｘ)没有奇偶性;反 函 数:有反函数。

［特殊地,当ｋ＝－1或b ＝０且ｋ=1时,函数f (ｘ)得反函数为原函数f (x )本身]周 期 性:无函 数 名 称:反比例函数解析式 形 式:f (x )= (k ≠０)图象及其性质:图象分为两部分,均不与坐标轴相交,当k 〉０时,函数f (x )得图象分别在第一、第三象限;当ｋ<０时,函数ｆ(x )得图象分别在第二、第四象限;双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别就是曲线得两条渐近线;图象成中心对称图形,对称中心为原点;图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为y =x 、y =-x ;定 义 域:值 域:单 调 性:当ｋ〉0时,函数f (x )为与上得减函数;当k 〈0时,函数ｆ(x )为与上得增函数;奇 偶 性:奇函数反 函 数:原函数本身 周 期 性:无函 数 名 称:变式型反比例函数解析式 形 式:f (ｘ)= (c ≠0且 d ≠0)图象及其性质:图象分为两部分,均不与直线、直线相交,当ｋ〉0时,函数f (x )得图象分别在直线与直线形成得左下与右上部分;当k<０时,函数f (ｘ)得图象分别在直线与直线形成得左上与b右下部分;双曲线型曲线,直线与直线分别就是曲线得两条渐近线;图象成中心对称图形,对称中心为点;图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为、;反 函 数:周 期 性:无函 数 名 称:二次函数 解析式 形 式:一般式: 顶点式:两根式:图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为,顶点坐标为或,与轴得交点为;②当时,抛物线得开口向上,此时函数图象有最低点;当时,抛物线得开口向下,此时函数图象有最高点; ③当时,函数图象与轴有两个交点,当时,函数图象与轴有一个交点,当时,函数图象与轴没有交点; ④横坐标关于对称轴对称时,纵坐标相等;当时,横坐标距对称轴近则函数值小,当时,横坐标距对称轴近则函数值大;⑤函数均可由函数平移得到;定 义 域:R值 域:当时,值域为;当时,值域为单 调 性:当时,上为减函数,上为增函数;当时,上为减函数,上为增函数;奇 偶 性:当时,函数为偶函数;当时,函数为非奇非偶函数反 函 数:定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数周 期 性:无函 数 名 称:指数函数 解析式 形 式:图象及其性质:①函数图象恒过点,与 轴不相交,只就是无限靠近;②函数与得图象关于轴对称;③当时,轴以左得图象夹在在直线与轴之间,轴以右得图象在直线以上;当时,轴以左得图象在直线以上,轴以右得图象夹在在直线与轴之间;f (x )=④第一象限内,底数大,图象在上方;定 义 域:R值 域:单 调 性:当时,函数为增函数;当时,函数为减函数;奇 偶 性:无反 函 数:对数函数周 期 性:无 函 数 名 称:对数函数解析式 形 式: 图象及其性质:①函数图象恒过点,与轴不相交,只就是无限靠近;②函数与得图象关于轴对称;③当时,轴以下得图象夹在在直线与轴之间,轴以上得图象在直线以右;当时,轴以下得图象在直线以右,轴以上得图象夹在在直线与轴之间;④第一象限内,底数大,图象在右方;定 义 域:R值 域:单 调 性:当时,函数为增函数;当时,函数为减函数;［与系数函数得单调性类似,因为两函数互为反函数]奇 偶 性:无 反 函 数:指数函数周 期 性:无函 数 名 称:对钩函数解析式 形 式:图象及其性质:①函数图象与轴及直线不相交,只就是无限靠近;②当时,函数有最低点,即当时函数取得最小值;③当时,函数有最高点,即当时函数取得最大值;定 义 域:值 域:单 调 性:在与上函数为增函数;在与上函数为减函数;奇 偶 性:奇函数反 函 数:定义域内无反函数周 期 性:无 2、3函数单调性(考点疏理+典型例题+练习题与解析)2.３函数单调性【典型例题】例1、(１)则a 得范围为( D)A 。

B 、 Ｃ. D.提示:21<０时该函数就是Ｒ上得减函数、(2)函数)就是单调函数得充要条件就是( A )A. B 。

C 、 Ｄ、提示:考虑对称轴与区间端点。

结合二次函数图象(３)已知在区间上就是减函数,且,则下列表达正确得就是( D )Ａ。

B 、C. Ｄ、 x y O f (x )= f (x )=提示:可转化为与在利用函数单调性可得、(4) 如下图就是定义在闭区间上得函数得图象,该函数得单调增区间为［—２,1］与［３,5］提示:根据图象写出函数得单调区间、注意区间不能合并、(5) 函数得单调减区间就是提示:结合二次函数得图象,注意函数得定义域、例2、画出下列函数图象并写出函数得单调区间(１) (2)解:(1) 即如图所示,单调增区间为,单调减区间为(２)当,函数当,函数即如图所示,单调增区间为,单调减区间为(1) (2)例3.根据函数单调性得定义,证明函数在上就是减函数、证明:设则,且在与中至少有一个不为0,不妨设 ,那么,故在上为减函数例4、设就是定义在R上得函数,对、恒有,且当时,。

(1)求证:; (2)证明:时恒有;(3)求证:在R上就是减函数; (4)若,求得范围、解:(1)取m=0,ｎ＝则,因为所以(2)设则由条件可知又因为,所以∴时,恒有(3)设则==因为所以所以即又因为,所以所以,即该函数在Ｒ上就是减函数。

(4) 因为,所以所以,所以【课内练习】1.下列函数中,在区间(０,2)上为增函数得就是( D )、A. B. Ｃ。

Ｄ.提示:根据函数得图象。

2.函数得增区间就是( Ａ )、A. ［3,１］Ｂ. [1,1] C。

Ｄ.提示:注意函数得定义域.3. 在上就是减函数,则得取值范围就是( A )。

A. B. C. D、提示:考查二次函数图象得对称轴与区间端点.4.若函数在区间[,b]上具有单调性,且,则方程在区间［,ｂ］上(D)A.至少有一个实数根 B、至多有一个实数根 C.没有实数根 D。

必有唯一得实数根提示:借助熟悉得函数图象可得.5、函数得单调增区间就是____,单调减区间____＿＿。

提示:画出二次函数得图象,考虑函数对称轴、6.若当时就是增函数,当时就是减函数,则1３提示:由题可知二次函数得对称轴就是可求出ｍ得值.7、已知在定义域内就是减函数,且>0,在其定义域内下列函数为单调增函数得为②③①(为常数);②(为常数);③ ;④ .提示:借助复合函数得单调性.8。

函数上得最大与最小值得与为,则＝提示:就是［０,1］上得增函数或减函数,故,可求得=9、设就是定义在上得单调增函数,满足求:(1)f(1);(2)当时x得取值范围、解:(1) 令可得 (2)又2=１+1=由,可得因为就是定义在上得增函数,所以有且且,解得:10、求证:函数在上就是增函数、证明:设则当时 ,, ,所以所以函数在上就是增函数。

2。

4 函数得奇偶性(考点疏理＋典型例题＋练习题与解析)【典型例题】例1。

(1)下面四个结论中,正确命题得个数就是(Ａ)①偶函数得图象一定与y轴相交;②函数为奇函数得充要条件就是;③偶函数得图象关于ｙ轴对称;④既就是奇函数,又就是偶函数得函数一定就是f(x)=0(x∈Ｒ)。

Ａ.1 ﻩ B.2 ﻩﻩﻩＣ.3 ﻩﻩ D.4提示:①不对,如函数就是偶函数,但其图象与轴没有交点;②不对,因为奇函数得定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既就是奇函数又就是偶函数得函数可以为f(x)＝０〔x∈(－,)〕,答案为A.(2)已知函数就是偶函数,且其定义域为[］,则( )A。

,b＝０B、,b=0 Ｃ.,b＝０D。

,b＝0提示:由为偶函数,得b＝0、又定义域为［］,∴ ,∴.故答案为A.(３)已知就是定义在Ｒ上得奇函数,当时,,则)在R上得表达式就是( )A。

B. C。

Ｄ.提示:由时,,就是定义在R上得奇函数得:当x<0时,,∴,即,答案为D.(4)已知,且,那么ｆ(2)等于提示:为奇函数,,∴,∴。

(5)已知就是偶函数,就是奇函数,若,则得解析式为提示:由就是偶函数,就是奇函数,可得,联立,得:, ∴例2、判断下列函数得奇偶性:(１);(2);(3);(4)、解:(1)由,得定义域为,关于原点不对称,∴为非奇非偶函数.(2),∴ ∴既就是奇函数又就是偶函数.(3)由得定义域为,∴,∵ ∴为偶函数(4)当时,,则,ﻩ当时,,则,ﻩ综上所述,对任意得,都有,∴为奇函数.例3。

若奇函数就是定义在(,１)上得增函数,试解关于得不等式:.解:由已知得因f(ｘ)就是奇函数,故 ,于就是。

又就是定义在(１,1)上得增函数,从而ﻩﻩ即不等式得解集就是.例４.已知定义在R 上得函数对任意实数、,恒有,且当时,,又.(1)求证:为奇函数;(2)求证:在R 上就是减函数;(3)求在[,6]上得最大值与最小值、(１)证明:令,可得 ,从而,f(0) ＝ 0.令,可得 ,即,故为奇函数、(2)证明:设∈R,且,则,于就是、从而121222122212()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=-<所以,为减函数、(3)解:由(2)知,所求函数得最大值为,最小值为。

于就是,在[—3,6］上得最大值为2,最小值为 —4.【课内练习】1.下列命题中,真命题就是( C )A.函数就是奇函数,且在定义域内为减函数B 。

函数就是奇函数,且在定义域内为增函数C 、函数就是偶函数,且在(3,0)上为减函数Ｄ。

函数就是偶函数,且在(0,２)上为增函数提示:Ａ中,在定义域内不具有单调性;Ｂ中,函数得定义域不关于原点对称;D 中,当时,在(0,2)上为减函数,答案为C 、2. 若,都就是奇函数,在(０,+∞)上有最大值5,则在(－∞,0)上有( )A 。