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(2.10)
将上式写成 Yule-Walker 方程形式为： y Ya x 。其中，x 是自变量观测值矩阵，a 是系 数矩阵，Y 是 Toeplitz 矩阵，y 是因变量观测值矩阵。 使用最小二乘法（Least Square，LS）寻找一个最优解为： x y Ya
2000 1800 1600 1400 1200 1000
2000 1800 1600 1400 1200 1000
0
200
400
600 数据量
800
1000
1200
0
200
400
600 数据量
800
1000
1200
(a)
2800 2600 2400 2200 实际值 预测值 2800 2600 2400 2200
3.1 固定系数矩阵 a 的股价预测
仿真采用 1000 个股票收盘价格构建预测方程，来预测接下来 300 个股票收盘价格，具体 仿真如下图所示：
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2800 2600 2400 2200 实际值 预测值
2800 2600 2400 2200 实际值 预测值
股票收盘价格
股票收盘价格

(2.6)
1 a 1 E y n k x n E y n k y n , y n 1 ,..., y n N a N 1 a rk , rk 1 ,..., rk N 1 0 aN
2200
2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000
0
200
400
600
800
1000 1200 数据量
1400
1600
1800
2000
（a）
3000 2800 2600 2400 实际值 预测值 3000 2800 2600 2400
（b）
实际值 预测值
股票收盘价格
2000 1800 1600 1400 1200 1000
股票收盘价格
0 200 400 600 800 1000 1200 数据量 1400 1600 1800 2000
2200
2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000
0
200
400
600
800
1000 1200 数据量
1400
1600
1800
2000
（c）
（d）
图 3 迭代更新系数矩阵时不同阶数下股票价格预测图
图 3 中（a）、（b）、（c）、（d）分别为阶数取 10、50、100 和 200 时的股票价格预测 图，从图中可以看出，由于对系数矩阵 a 进行不断的迭代更新，因此求得的预测值近似为线性 预测，即只能预测股票的升降趋势。观察之前 1000 个数据可知，股票价格以下降趋势为主， 因此在这里的预测函数为一近似单调递减的线性函数。
从表 I 中可以看出，阶数位于 10~100 之间时，具有最优预测。
3.2 迭代更新系数矩阵 a 的股价预测
本节中，我们利用原始数据求解系统系数矩阵 a，利用该系数矩阵 a 构建预测方程，通过 预测方程求解接下来的一个值，再将该值代入，更新系数矩阵 a，实现一种交叉迭代的预测求 解。仿真采用 1000 个股票收盘价格构建预测方程，来预测接下来 1000 个股票收盘价格，具体 仿真如下图所示：
(2.2)
其中，A=[ 1 , 2 , ]是各项自变量观测值的系数。另外，我们假定自变量观测值的自相关函数 为：
E x n x n k 2 k

(2.3)
其中， 2 是自变量观测值的方差， k 是狄拉克函数。 将所得的 y(n)代入可得：
600 800 数据量
1000
1200
1400
股票收盘价格
2.5
0
200
400
600 800 数据量
1000
1200
1400
（a）
（b） 图 5 加窗长度为 100 时不同阶数下的股价预测图
2.5
x 10
4
4 实际值 预测值
x 10
4
2
3
实际值 预测值
2 1.5
股票收盘价格
股票收盘价格
200 400 600 800 数据量 1000 1200 1400
1
1
0
0.5 -1 0
-2
-0.5 0
-3
0
200
400
600 800 数据量
1000
1200
1400
（a）
（b） 图 6 加窗长度为 200 时不同阶数下的股价预测图
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(b)
实际值 预测值
股票收盘价格
2000 1800 1600 1400 1200 1000
股票收盘价格
0 200 400 600 数据量 800 1000 1200
2000 1800 1600 1400 1200 1000
0
200
400
600 数据量
800
1000
1200
(c)
(d)
图 2 固定系数矩阵时不同阶数下股票价格预测图
yN y N 1 y N 1 y N y L 1 y L 2
y N 2 y 0 a1 x N y N 1 y 1 a2 x N 1 y L N 1 aN x L 1
E y n x n E x n 1 x n 1 x n 2



(2.4)
同样，将任意的一个 y(n-K)代入可得： E y n k x n 2 k 。 接下来，我们将所得各式写成向量的形式如下：
a0 y n a1 y n 1 aN y n N x n
迭代性，我们可以将其转化为一组自变量观测值和一个因变量观测值的形式如下：
(2.1)
其中，a=[a0,a1,…aN]为各项因变量观测值系数。通常情况下，我们令 a0=1。考虑到式（2.1）的
y n x n 1x n 1 2 x n 2
2. 原理简述
2.1 基本原理 自回归模型（Autoregressive Model，AR Model）是用自身做回归变量的过程，即利用前期 若干时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻随机变量的线性回归模型，它是时间序列中 的一种常见形式。 考虑一组随机自变量观测值与因变量观测值之间的关系， 设自变量观测值为 x(n),因变量观 测值为 Y=[y(n),y(n-1),…,y(n-N)],则依据 AR Model，满足如下关系式：

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1 a 1 y n , y n 1 ,..., y n N Байду номын сангаас x n aN
(2.5)
1 a 1 E y n x n E y n y n , y n 1 ,..., y n N a N 1 a r0 , r1 ,..., rN 1 2 aN

(2.7)
将因变量观测值的自相关函数写成矩阵形式可得如下：
r0 r 1 rN 1 r1 r0 rN 2 rN 1 a1 r1 r rN 2 a2 2 r0 aN rN
1
（3）将 a 代入构造预测方程； （4）将已知值代入到预测方程中对未知值进行预测。 2.3 实现框图
构建系统模型
依据LS求解系统系数矩阵
构造预测方程
利用已知值对未知值进行预测
图 1 预测实现框图
3. 仿真结果及分析
仿真分为三组进行，分别是固定系数矩阵 a 的股价预测图样；迭代更新系数矩阵 a 的股价 预测图样；加窗更新系数矩阵 a 的股价预测图样。
0
200
400
600 800 数据量
1000
1200
1400
（a）
（b）
图 4 加窗长度为 50 时不同阶数下的股价预测图
4.5 4 3.5 5 3 4 3 2 1 0.5 0 -0.5 0 -1 x 10
307
7 实际值 预测值 6
x 10
282
实际值 预测值
股票收盘价格
2 1.5 1
0
200
400
3.3 加窗更新系数矩阵 a 的股价预测
考虑到 3.2 中系数矩阵 a 是在每次得到新的预测值就进行更新， 在本节中， 我们利用前 1000 个股价预测接下来长度为 m 的股价，m 即为我们加窗的长度。在这里我们取 m 为一系列的值， 分别为 50、100、200、300 和 400。通过预测的估计，更新系统矩阵 a，进而预测接下来的股 价。仿真时阶数分别取为 100 和 300，显示如下图所示：
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3000 2800 2600 2400 实际值 预测值
3000 2800 2600 2400 实际值 预测值
股票收盘价格
2000 1800 1600 1400 1200 1000
股票收盘价格
0 200 400 600 800 1000 1200 数据量 1400 1600 1800 2000