专题10二次函数的应用一．解读考点知识点二次函（1）利润问题数应用（2）几何问题类型（3）抛物线型问题名师点晴利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题.一般方法是：（1）建模（最重要的就是可以读懂题意），然二次后求二次函数的解析式，解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出；认真审题，理解题意，建应用（2）求x=﹣b2a的值；立二次函数的数学模型，的解（3）判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识2a题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围①在，即相当于求顶点处函数的最大值或最小值②不在，可画草图根据二范围．次函数的增减性来解答．二．考点归纳归纳1：利润问题基础知识归纳：①每件商品的利润=售价—进价②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=（售价—进价）×销售量③商品的总利润=总收入－总支出④商品的利润率==例1.（2017湖北十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=60+10x（1≤x≤12，且x为整数）；（2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.【解析】试题分析：(1)根据题意，得：y=60+10x，由36−x≥24得x ≤12，∴1≤x≤12，且x为整数；(2)设所获利润为W，则W=(36−x−24)(10x+60)=−10x2+60x+720=−10(x−3)2+810，∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.考点：A:应用二次函数求最大利润，B:求一次函数的解析式例2.（2017安徽）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）销售量y（千克）506070 1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)y=﹣2x+200;(2)w=﹣2x2+280x—8000;(3)当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．【解析】50+b=100k=﹣2试题分析：(1)设y=kx+b，由题意，得60k+b=80，解得b=200,∴所求函数表达式为y=﹣2x+200.(2)W=（x—40）（-2x+200）=﹣2x2+280x—8000即W与x之间的函数表达式是w=﹣2x2+280x—8000(3)W=﹣2x2+280x—8000=—2（x—70）2+1800，其中40≤x ≤80，∵﹣2＜0，∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，w 随x的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.考点：A:应用二次函数求最大利润，B:求一次函数的解析式例3.（2017山东潍坊）工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm 2；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元.【解析】试题分析：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10−2x)(6−2x)=12，即x2−8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2；(2)∵长不大于宽的五倍，∴10−2x≤5(6−2x)，解得0<x≤2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.5×2x(16−4x)+2(10−2x)(6−2x)=4x2−48x+120=4(x −6)2−24，∵对称轴为x=6，开口向上，∴当0<x≤2.5时，w随x的增大而减小，∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元.考点：A：利用二次函数求最低花费问题，B:一元二次方程的应用．例4.（2017四川达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成。
已知每件产品的出厂价为60元。
工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系：7.5x，0≤x≤4y=5x+10，4<x≤14(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图。
工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少?【答案】（1）工人甲第12天生产的产品数量为70件.150x，0≤x≤4（2）W=−5(x−11)2+845，4<x≤14,故第11天时，利润最大，最大利润是845元．【解析】试题分析：(1)根据题意，得：∵若7.5x=70,得：x=28/3>4，不符合题意；∴5x+10=70，解得：x=12，答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，当4<x≤14时，设P=kx+b，4k+b=40k=1将(4,40)、(14,50)代入,可得：14k+b=50，解得：b=36，∴P=x+36；①当0≤x≤4时,W=(60−40)·7.5x=150x，∵W随x的增大而增大，=600元；∴当x=4时,W最大②当4<x≤14时,W=(60−x−36)(5x+10)=−5x2+110x+240=−5(x−11)2+845，=845，∴当x=11时,W最大∵845>600，∴当x=11时，W取得最大值，845元，答：第11天时，利润最大，最大利润是845元。
考点：分段求二次函数的最大利润问题．例5．（2017湖北鄂州）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个.若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个.（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元?（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本?【答案】（1）y=﹣10x+160（0＜x＜80，x为偶数）；（2）当销售单价定为72或74元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备10000元进货成本.【解析】试题分析：（1）依题意有：y=﹣10x+160（0＜x＜80，x为偶数）；(2)依题意有：W=(80−50−x)(10x+160)=−10(x−7)2+5290，由函数图像的性质可知，抛物线开口向下，对称轴x=7，又x为偶数，所以w在x=6或x=8时取得最大值，即w=5280，故当销售单价定为72或74元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元;(3)依题意有：W=−10(x−7)2+5290≥5200，解得4≤x≤10，设进货成本为P元，则P=50（10x+160）=500x+8000，P随x 的增大而增大，所以当x=4时，P取最小值，P=500×4+8000=10000.故他至少要准备10000元进货成本.考点：A:应用二次函数求最大利润，B:一次函数的应用归纳2：几何问题基础知识归纳：在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下：①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长；观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，②若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解；③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。
例6.（2017浙江绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m.设饲养室为长为x(m)，占地面积为y(m2).（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大.小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.【答案】2（x﹣8）（x+2）【解析】50x试题分析：(1)∵y=x·=−1/2(x−25)2+625/2，∴当x=25时，占地面积最大，即饲养室长x为25m时，占地面积y最大；（2）∵y=x·=−12(x−26)2+338，∴当x=26时，占地面积最大，即饲养室长x为26m时，占地面积y最大；∵26−25=1≠2，∴小敏的说法不正确。
考点：二次函数几何问题．归纳3：抛物线型问题基础知识归纳：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.例7.（2017山东德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度是多少？【答案】（1）y=−2/3x2+4/3x+2(0≤x≤3);（2）水柱的最大高度为8/3m．【解析】试题分析：如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，4a+h=0a=−2/3设抛物线的解析式为:y=a(x−1)2+h，代入(0,2)和(3,0)得：a+h=2，解得：h=8/3，∴抛物线的解析式为：y=−2/3(x−1)2+8/3；即y=−2/3x2+4/3x+2(0≤x≤3)；(2)y=−2/3x2+4/3x+2(0≤x≤3)，当x=1时,y=8/3，即水柱的最大高度为8/3m.考点：二次函数的抛物线模型问题．例8.（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t h 018214318420520618714……下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=9；③足球被踢出9s时落地；④足球2被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B.【解析】试题解析：由题意,抛物线的解析式为y=ax(x−9),把(1,8)代入可得a=−1，∴y=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误。