二次函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. (1) 单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)b -+∞上递减，当bx =-时，；24()4ac b f x a -=.(2) 当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，图2-9令02p qx +=： （1） 若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2） 若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3） 若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a =-=；（4） 若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.三、一元二次方程与二次函数的转化1．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a=< 2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表2-5所示.四、二次不等式转化策略1. 二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式2()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩.注 若表述为“已知函数2()f x ax bx c =++”，并未限制为二次函数，则应有()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨<⎩. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1） 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2） 对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型归纳及思路提示题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的（ ）Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件解析 由于0a <，则方程2210ax x ++=的判别式440a ∆=->，设12,x x 为方程的两根，则12122010x x ax x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩，故12,x x 异号，因此方程有一个负数根；但反之，若方程2210ax x ++=有负数根，当0a =时，即210x +=有负数根12x =-，那么方程2210ax x ++=有负数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.变式1 已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（ ）. A. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +<C. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<变式2 已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则（ ）.A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定例 2.42 （2012江苏13）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_____________. 解析 将二次不等式转化为二次方程求解.由题意知2()f x x ax b =++的值域为[0,)+∞，得240a b ∆=-=.不等式()f x c < ()0f x c ⇔-<，即20x ax b c ++-<的解集为(,6)m m +，设方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，则1212x x ax x b c +=-⎧⎨=-⎩，12||x x -==6==，得9c =.评注 本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式2x ax b c ++<的解集为(,6)m m +与方程2x ax b c ++=的实根12,x x 之间的联系，即12||6x x -=.变式1 （2012浙江理17）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则______a =. 变式2 （2012北京理14）已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则m 的取值范围是________. 题型2 二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件思路提示 结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例2．43 已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求实数m 的取值范围. 分析 根据二次方程根的分布结合图像求解.解析 根据题意，如图2-10所示，对于2()(21)42f x x m x m =+-+-，由图像知2αβ<<，得(2)0f <，故2(2)2(21)2420f m m =+-⨯+-<，解得3m <-，所以m 的取值范围是(,3)-∞-.图2-10评注 利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式1 关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的两个根，一个小于0，一个大于1.求实数m 的取值范围. 变式2 已知二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--和(0,1)内，求实数b 的取值范围.例2.44 已知方程32230(,,)x ax bx c a b cR +++=∈的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个）.A. )+∞ B.)+∞ C.)+∞ D. )+∞ 解析 由方程32230(,,)x ax bx c a b c R +++=∈有三个实根123,,x x x ，且满足12301,1,1x x x <<=>.则231a b c ++=-，得123c a b =---.32232310x ax bx a b ++---=, (*)由1x =是方程的根，可知方程(*)可写成：2(1)[(231)]0x x mx a b -++++=，展开并与方程(*)对照系数可得21m a =+.所以2(21)(231)0x a x a b +++++=. 令2()(21)(231)f x x a x a b =+++++，(0)2310(1)4330f a b f a b =++>⎧⎨=++<⎩，如图2-11，(,)a b 所在的区域如阴影部分所示,点1(1,)3A -)+∞.故选A.图2-11变式1 设直线2y x m =-+与y 轴相交于点P ，与曲线22:33(1)C x y x -=≥相交于Q ，R ，且|PQ|<|PR |,求||||PR PQ 的取值范围. 题型3 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题思路提示 根据二次函数图像，分析对称轴与区间的位置关系.例2.45 函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上是单调函数，则（ ）. A. (,1)a ∈-∞ B. (2,)a ∈+∞ C. [1,2) D. (,1][2,)a ∈-∞+∞ 分析 利用区间[1,2]在对称轴的左侧和右侧分别作图.解析 作出函数在[1,2]上符合单调区间的图像，如图2-12（a ）,(b)所示的情况均满足要求.故选D.图2-12(b)(a)x评注 在处理“动轴定区间”问题时，首先应确定不定量，即区间一定，然后根据题目要求分类讨论对称轴与区间的相对位置关系，求解参数的范围.变式1 函数2()23f x x kx =-+在[1,)-+∞上是增函数，求实数k 的取值范围. 例2.46 求函数2()21f x x ax =--在[0,2]上的值域.分析 解答本题可结合二次函数的图像及对称轴与区间的位置关系. 解析 2()21f x x ax =--，抛物线()y f x =开口向上，对称轴x a =.（1） 当0a ≤时，函数在区间[0,2]上为增函数，故min max (0)1,(2)34y f y f a ==-==-，所以函数的值域为[1,34]a --.（2） 当2a ≥时，函数在区间[0,2]上为减函数，故min max (2)34,(0)1y f a y f ==-==-，所以函数的值域为[34,1]a --.（3） 当01a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(2)34y f a a y f a ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),34]a a -+-.（4） 当12a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(0)1y f a a y f ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),1]a -+-.评注 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[,]m n ，若是区间[,]m n ，最大（小）值不一定在对称轴处取得，而应该看对称轴是在区间[,]m n 内还是在 区间的左边或右边.在区间的某一边时，应该利用函数的单调性求解，最值不在对称轴处取得，而在区间的端点处取得.变式1 已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值.例2.47 已知二次函数2()23f x x x =--，若()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式. 分析 本题考查“定轴动区间”问题，求给定的二次函数在动区间上的最值，利用数形结合及分类讨论思想求解.解析 根据二次函数的解析式知1x =为其对称轴，分析对称轴与区间的位置关系，如图2-13所示.(b)(c)图2-13(a )x(1) 当1t >时，如图2-13（a ）所示，2()()23g t f t t t ==--；(2) 当11t +<，即0t <时，如图2-13（b ）所示，2()(1)4g t f t t =+=-； (3) 当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，如图2-13（c ）所示，()(1)4g t f ==-.因此224(0)()4(01)23(1)t t g t t t t t ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩.变式1 已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)0,(1)1f f ==，若()f x 在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，求,m n 的值.变式2 （2012北京东城期末理8）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(,)a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为A.8B.6C.4D.2最有效训练1.函数2263,[1,1]y x x x =-+∈-，则y 的最小值是（ ）.A. 32-B. 3C. 1-D.不存在 2.已知,,a b c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或13. 函数y =x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是( ). A. m =-2 B. m =2 C. m =-1 D. m =14. 已知函数ƒ(x )=ax 2+bx +c ，且a >b >c ，a +b +c =0，则( ). A. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )>0 B. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )<0 C. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)=0 D. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)>05. 已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得∆ABC的面积为2的点C的个数为( ).A. 4B. 3C. 2D. 16. 已知函数ƒ(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任意实数x，ƒ(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ).A. [-4,4]B. (-4,4)C. (-∞,4)D. (-∞,-4)7. 若函数ƒ(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x=1对称，则ƒ(x)max=________.8. 关于x的方程2x2+ax-5-2a=0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数a的取值范围是________.9. 当x∈[0,2]时，函数ƒ(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是________.10.已知二次函数ƒ(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞)，则c aa c+++22的最小值为________.11.已知定义域为R的函数ƒ(x)满足ƒ(ƒ(x)-x2+x)=ƒ(x)-x2+x.(1)若ƒ(2)=3，求ƒ(1)，又若ƒ(0)=a，求ƒ(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得ƒ(x0)=x0，求函数ƒ(x)的解析式.12.已知二次函数ƒ(x)=x2+mx+1(x∈Z)，且关于x的方程ƒ(x)=2在区间(-3,12)内有两个不同的实根.(1)求ƒ(x)的解析式；(2)若x∈[1,t](t>1)时，总有ƒ(x-4)≤4x成立，求t的最大值.。