.:.:增大而减小随在对称轴右侧，增大而增大；随在对称轴左侧，开口向下增大而增大随在对称轴右侧，增大而减小；随在对称轴左侧，开口向上x y x y x y x y 一、二次函数的定义1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A ．y ＝x(x ＋1)B ．xy ＝1C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2D ．132+=x y2.当m 时，函数y ＝(m －2)x 2＋4x －5(m 是常数)是二次函数． 3.若1222)3(---=m mx m m y 是二次函数，则m ＝ ．4.若函数y ＝3x 2的图象与直线y=kx ＋3的交点为(2，b)，则k= ，b ＝ . 5.已知二次函数y ＝―4x 2－2mx+m 2与反比例函数24m y x+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2，则m 的值是 ．二、二次函数的图象与性质)(44)()(22),()44,2)(2222y x ab ac y ky h x a bx hx a bx k h ab ac a b a akh x a y c bx ax y 代入求或将值小最大值小最大时，最值：当时，最值：当对称轴：对称轴：顶点顶点（开口方向开口方向公式-===-==-=--↓↓+-=→----++=1.对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( )A ．a 越大，抛物线开口越大B ．a 越小，抛物线开口越大C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大2.下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，221x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线 y ＝－x 2的开口最大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点3.二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向上，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5）C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5)D ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）4.已知抛物线的解析式为y=(x －2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( )A ．(－2，1)B ．(2，1)C ．(2，－1)D ．(1，2) 5.已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－2,1)6.抛物线y=x 2+2x-1的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小．7.抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为)0,32(，则b= ,c= .8.函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是 ；函数y ＝-x 2+4x 的最大值是 . 9.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a = .配方),1(3y C ),,2(),,1(21y B y A --二次函数的对称性二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ： （1）此函数的对称轴为直线ab x 2-=； （2）若函数与x 轴相交于点)0,(),0,(21x B x A ，则对称轴可表示为221x x x +=；（3）若函数与x 轴相交于点),(),,(21n x B n x A （特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为221x x x +=.10.抛物线2)1(2++=x a y 的一部分图象如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点坐标是 .11.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为)0,3(，则点A 的坐标是 .12.抛物线)0()1(2≠+-=a k x a y 与x 轴交于)0,3(),0,(1B x A 两点，则线段AB 的长 . 13.已知二次函数c x x y ++-=22，若点),(),,(2211y x B y x A 在此函数的图象上，且121<<x x ，则21,y y 的大小关系是 .14.已知二次函数c ax x y ++-=2的对称轴是直线1=x ，若点在此函数的图象上，则321,,y y y 的大小关系是15.已知二次函数c bx ax y ++=2中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表：x …… 0 1 2 3 4 …… y……414……点),(),,(2211y x B y x A 在函数的图象上，则当211<<x ，432<<x 时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）21212121....y y D y y C y y B y y A ≥≤<>三、二次函数的平移、旋转与对称1.把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）3)1(.3)1(.3)1(.3)1(.2222-+-=---=++-=+--=x y D x y C x y B x y A2.抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是 A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位3.在平面直角坐标系中，如果23x y =的图象不动，而把坐标轴分别向上平移2个单位，向右平移3个单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为 .4.将抛物线6422++-=x x y 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式为 .5.将抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位，所得图象的关系式为322--=x x y ，则b= ,c= . 6.已知抛物线5422--=x x y ，（1）将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是 .（2）关于y 轴对称的抛物线关系式是 ; （3）关于x 轴对称的抛物线关系式是 ;（4）关于原点对称的抛物线关系式是 .四、确定二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：()()21x x x x a y --=.已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式.1.顶点为（—1，—3），与y 轴交点为（0，—5）.2.与x 轴交于A （—1,0）、B （1,0），并经过点M(0,1).3.图像经过点A(0，1)、B(1，2)、C(2，1).4.顶点坐标为（1,3）且在x 轴上截得的线段长为4.5.图象经过点（1,0）、（0，-3），且对称轴是直线x=1.6.已知抛物线c bx x y ++-=2如图所示，求它对应的表达式.五、二次函数的应用 知识铺垫：最值问题 （一）开口向上 1.当对称轴abx 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值； 2.当对称轴abx 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值. （二）开口向下 1.当对称轴a bx 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值； 2.当对称轴abx 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值.1.当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．30m2.当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．3.当0≥x 时，求函数)2(x x y --=的最大值和最小值．几何问题4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ （3）若将矩形改为图2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？5.用长为80 m 的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD ，已知房屋外墙长50 m ，设矩形ABCD 的边AB=x m ，面积为S m 2.（1）写出S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；（2）当AB,BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？6.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m ，当水位上升3 m 时，水面宽CD=10 m.（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以5 km/h 的速度向此桥径直行来，当船距离此桥35 km 时，桥下水位正好在AB 处，之后水位每小时上涨0.25 m ，当水位达到CD 处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？C40m最大利润问题7.某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。

不考虑其他因素，旅馆将每天的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？8.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?最大利润是多少？9.某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出.（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.1x 2x 1x 1x六、二次函数与一元二次方程二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程02=++c bx ax 的根的关系：1.当∆>0时,抛物线与x 轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程02=++c bx ax 的两个不相等的实数根；2.当∆=0时,抛物线与x 轴有一个交点，这个交点的横坐标是方程02=++c bx ax 的两个相等的实数根，并且这一个交点即为抛物线的顶点；3.当∆<0时，抛物线与x 轴没有交点，这时方程02=++c bx ax 没有实数根.当a >0时，当1x x <或2x x >时，0>y ；当21x x x <<时，0<y . 当a <0时，当1x x <或2x x >时，0<y ；当21x x x <<时，0>y .5.当∆=0时，图象与x 轴只有一个交点)0,(1x . 当a >0时，x 为任何实数时，函数值0≥y ； 当a <0时，x 为任何实数时，函数值0≤y ；6.当∆<0时，图象与x 轴没有交点.当a >0时，图象落在x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0； 当a <0时，图象落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y<0.1.抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 .2.抛物线y=x 2+bx+4与x 轴只有一个交点则b= .3.二次函数y=x 2-2(m+1)x+4m 的图象与x 轴（ ）A.没有交点B.只有一个交点C.只有两个交点D.至少有一个交点4.二次函数 y=kx 2－7x －7的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .5. 已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴、C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 6.抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若y>0，则x 的 取值范围是（ ）A ．-4<x<1B ． -3<x<1C ．x<-4或x>1D ．x<-3或x>1七、二次函数中c b a ,,的意义二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式abx 2-=判断符号，左同右异． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；过原点，c=0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号；当x= -1时，可确定a-b+c 的符号； 当x=2时，可确定4a+2b+c 的符号，当x=-2时，可确定4a-2b+c 的符号．（6）由对称轴公式abx 2-=与x=1和x= -1比较，可确定2a+b ，2a-b 的符号．1.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）A.③④B.②③C.①④D.①②③2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43.如图，二次函数y=x 2+（2﹣m ）x+m ﹣3的图象交y 轴于负半轴，对称轴在y 轴的右侧，则m 的取值范围是（ ）A. m ＞2B. m ＜3C. m ＞3D. 2＜m ＜34.如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象，在下列说法中正确的说法有 .①ac ＜0； ②方程ax 2＋b x ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.5.二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.有以下结论： (1)abc>0; (2)4ac<b 2; (3)2a+b=0; (4)a-b+c>2.其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第4题 第5题 -第6题 6.如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论中正确的有（ ） ①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.48.已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的个数是 （ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个9.已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A B C D10.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A.①②⑤ B.①②④ C.①③⑤ D.②④⑤八、二次函数与几何图形（一）二次函数与三角形类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或与坐标轴平行这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。