答案 C
4．若三角形的两内角α，β满足sinα· cosβ<0，则此三角形 必为( ) B．钝角三角形 D．等腰三角形
A．锐角三角形 C．直角三角形
解析
由条件知α，β∈(0，π)，∴sinα>0，又
sinα· cosβ<0，∴cosβ<0，∴β必为钝角，故三角形必为钝角三 角形．
答案 B
名师点拨 1.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
所以α是第四象限角，所以m＜0. ∴r＝
4 2 3 2 1 1 － ＋ ＝| |＝－ . m m 5m 5m
y 3 4 ∴sinα＝ ＝－ ，cosα＝ ， r 5 5 1 ∴sinα＋cosα＝5.
规律技巧
根据三角函数值在各象限中的符号确定点 P 所
在的象限，另外如果已知角终边上的一点坐标，一般可用三角 函数的定义计算各三角函数值.
思考探究 确定一个角的某一三角函数值的符号，关键是什么？ 提示 关键先判断角是哪一象限角，再根据符号法则判断
三角函数值的正负.
自测自评 1.cos3的值( A．小于0 C．等于0 ) B．大于0 D．无法确定
解析
π 2<3<π，∴3是第二象限角，∴cos3<0.
答案
A
2．若cosα>0，且tanα<0，则α是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
π π (2)∵－ 是第四象限角，∴sin－4＜0. 4
(3)∵－672° ＝－2×360° ＋48° ，而48° 是第一象限角， ∴－672° 是第一象限角．∴tan(－672° )＞0.
规律技巧
当涉及到的角的绝对值较大时，可以在0° ～
360° 范围内或[0,2π)内找到与它终边相同的角来确定该角所在 的象限，进而确定所求．
典例剖析
例1
确定下列三角函数值的符号：
(1)cos250° ；
π (2)sin－4；
(3)tan(－672° )． 剖析 首先要确定所涉及到的角所在的象限，然后再根据
各三角函数在各象限的符号，即可判定所给三角函数值的符 号．
解析
(1)∵250° 是第三象限角，∴cos250° ＜0.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数
1．2.1 三角函数的定义
第二课时
三角函数在各象限中的符号
课前预习目标
课堂互动探究
ห้องสมุดไป่ตู้
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 理解并熟练掌握三角函数在各象限的符号.
自学导航 三角函数值的符号 y 1．sinα＝ r ，r>0，于是sinα的符号与 y 的符号相同，因此 当α是第一、二 象限的角时，sinα>0；当α是 第三、四 象限的角 时，sinα<0.
例2
4 3 cosα 角α的终边上存在一点P－5m，5m ，且 tanα ＜0，求
sinα＋cosα的值． 剖析 cosα 应先根据点P的坐标特点以及 ＜0来确定点P所 tanα
在的象限，即确定实数m的取值范围，再利用三角函数的定义 进行求解 .
解析
cosα 4 3 ∵ tanα ＜0，又－5m与5m异号，
x 2．cosα＝r ，r>0，于是cosα的符号与 x 的符号相同，因此 当α是 第一、四 象限的角时，cosα>0；当α是第二、三象限的角 时，cosα<0. y 3．tanα＝ ，当x与y同号时，它的比值为 正 ，当x与y异号 x 时，它的比值为 负 ，因此当α为 第一、三 tanα>0；当α为 第二、四象限的角时，tanα<0. 象限的角时，
)
解析
cosα>0，则α是第一、四象限角或α的终边在x轴的正
半轴；tanα<0，则α是第二、四象限角．∵α满足cosα>0， tanα<0，∴α是第四象限角，故选D.
答案
D
3．若θ是第二象限角，则( θ θ A．sin >0 B．cos <0 2 2 θ C．tan >0 D．以上均不对 2
)
π 解析 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋2<θ<2kπ＋π，k∈Z. π θ π ∴kπ＋4<2<kπ＋2，k∈Z. θ θ ∴2是第一、三象限角，∴tan2>0.
2．三角函数符号的记忆口诀 三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，即按象 限依次为：第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三角限正 切为正；第四象限余弦为正．至于余切、正割、余割由三角函 数的定义可知它们分别为正切、余弦、正弦的倒数，因此也就 分别与它们的符号相同.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
变式训练2
sinα＋cscα 已知 ＜0，求α所在的象限． tanα＋cotα
解析
在α角终边上任取一点P(x，y)，|PO|＝r.
y r y x 则sinα＝ ，cscα＝ ，tanα＝ ，cotα＝ . r y x y y r ＋ sinα＋cscα r y ∵ <0，∴y x<0， tanα＋cotα ＋ x y
y r y x ∵r 与y同号，x与y同号． y y ∴只需要r 与x异号， ∴sinα· tanα<0， ∴α所在象限为第二或第三象限．
例3
已知角α的终边上一点P(3a－9，a＋2)，且
cosα≤0，sinα>0，求实数a的取值范围． 剖析 P(x，y)是α的终边上一点，cosα≤0，
则x≤0；sinα>0，则y>0.
解析
由题意可知，3a－9≤0，a＋2>0，
∴a≤3且a>－2. ∴－2<a≤3.
变式训练3
x 已知角α的终边上一点P(8，x)，且sinα＝ 17 ，
tanα<0，求x的值．
解析
x 由tanα＝8<0，则x<0.
x x sinα＝ 2 2＝17，∴82＋x2＝172. 8 ＋x ∴x2＝225，∴x＝－15.
变式训练1
判断下列三角函数值的正负：
(1)sin1125° ； (2)cos(－1230° )； 2011π (3)tan 6 .
解析
(1)∵1125° ＝1080° ＋45° ，
∴1125° 是第一象限角，∴sin1125° >0. (2)∵－1230° ＝－4×360° ＋210° ， ∴－1230° 是第三象限角，∴cos(－1230° )<0. 2011 7π (3)∵ 6 π＝334π＋ 6 ， 2011 2011π ∴ 6 π是第三象限角，∴tan 6 >0.