=
0
0
1 2
问题：矩阵的乘法是否满足交换律呢？
2、例题 例 1．已知矩阵 A、B，计算 AB 及 BA，并比较他们是否相同，能否从几何变换的角度 给予解释？
（1）A=
1 0
0 2
，B=
0 1
1
0
；
1
（2）A=
0
0 1
2
，B=
3
0
0 1
。
解：（1）AB=
1 0
0 0
2
a 0
0 1
1
0
0
d
1 c
d
0 1
1
0
0 1 bc
ad
1
0
b
a 1
a
=
0
0
d
1 c d
0 1
1
0
0 1 bc
ad
1
0
b
a 1
a
=
c
0
d
1 0
1
0 bc
ad
1 0
b a
a 1
=
c
d
0 bc
a
1 0
b
a 1
a
=
c
b
d
第六节．矩阵乘法的法则
教学目标： （1）通过几何变换，使学生理解矩阵乘法不满足交换律（但并不是绝对的）。 （2）通过实例，了解矩阵的乘法满足结合律。 教学重点：理解矩阵乘法不满足交换律。 教学难点：从图形变换的角度理解矩阵的乘法不满足交换律。 教学过程：
一、引入：对上节课的练习的讨论： 已知三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为：A（0，0），B（2，0），C（2，2），
2
由此 ，我们不难看出：一般来说，在矩阵乘法中，AB BA，即：矩阵乘法不满足交
换律，但在某些特定的情况下，如连续两次旋转或连续两次压缩，变换是可以交换顺序的， 即此时矩阵乘法可以交换顺序。
矩阵的乘法满足结合律。即： A（BC）=（AB）C
证明请同学自己验证。
例
2．（1）求证：
0 c
b 0
0
3、例题 2 的价值在于：任何一个二阶方阵都能分解成几个学生熟悉的二阶变换矩阵的 乘积。因此，对于二阶变换矩阵的讨论不是片面的。
4
=
1
1 c
0
0
0 1
1
0
0
b
（2）若
ad
0，求证：
a c
b a
d
=
0
0 1
1
0
0
d
1 c
d
0 1
1
0
1
0 bc
ad
1 0
b
a 1
证明：由矩阵乘法的结合律
（1）
0 1
1 c
0
0
0 110来自0 0b=c
1 1
0
0
0 0
b
=
c
b
0
（2）
1
1 0
0
=
2
1
0
，BA=
0 1
1 1
0
0
0 0
2
=
1
2
0
显然，AB BA。
从几何变换的角度，AB 表示先作反射变换（变换矩阵为 B），后作伸缩变换（变换矩阵 为 A）；而 BA 表示先作伸缩变换（变换矩阵为 A），后作反射变换（变换矩阵为 B）。当连 续进行一系列变换时，交换变换次序得到的结果，一般说会不相同。仍以正方形（顶点分别 为 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：
先将三角形作以原点为中心的反射变换（变换矩阵为
1
0
0 1
），再以
x
轴为基准，
1
将所得图形压缩到原来的一半（变换矩阵为
0
所对应的变换矩阵 U；
0 1 ），试求：（1）这连续两次变换 2
问：U=
1
0
0 1
1
0
0 1 0
1 2
=
0
1 2
1
U=
0
0 1
2
1
0
0 1
1
教学设计说明： 1、矩阵乘法不满足交换律，这是一个崭新的提法，是学生从来没有接触过的。引导学 生从具体的运算中找出反例；观察图形的变化情况，运用变换矩阵的理论分析变换 过程，使学生从数和形两个方面深化认识，有助于培养学生从多角度认识问题。 2、矩阵乘法满足结合律，不要求学生能证明，只要能了解即可。
3
1
图 1. 先伸缩，再旋转
图 1. 先旋转，再伸缩
显然，变换顺序不同，所得的结果也不同。
1
（2）AB
=
0
0 1 2
3
0
0 1
=
3 0
0 1
2
，BA=
3
0
0
1
1
0
0 3
1 2
=
0
0 1 2
显然，AB = BA
从几何变换的角度，AB 表示先作伸缩变换 B（变换矩阵为 B），再作伸缩变换 A（变换
矩阵为 A）；而 BA 表示先作伸缩变换 A（变换矩阵为 A），后作伸缩变换 B（变换矩阵为 B），
将这两个变换交换次序后，得到的结果仍相同。仍以正方形（顶点分别为 A(0,0)，B(1,0)，
C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：
先作伸缩变换 B，再作伸缩变换 A
先作伸缩变换 A，后作伸缩变换 B
观察例 2 所证等式右端的矩阵，它们都是我们在前面所学过的基本变换矩阵，事实上： 任何一个二阶矩阵，都可以分解为一些基本变换矩阵的乘积，即任意的一个矩阵变换都相当 于是连续实施前面所讲过的一些常见的变换。（对这问题不作严格论证，也决不应要求学生 把任一个二阶矩阵分解为上述基本变换矩阵的乘积。）
三、小结：矩阵的乘法不满足交换律，满足结合律。