a1,2 la1,2a2,2
a3,2
la1,aa313,,33a2,3
1 0 0
0 0 1
0 1 0
A
A
1 0 0
0 0 1
010
aaa132,,,
1 1 1
a1, 2 a3, 2 a2, 2
a1, a3, a2,
333
aaa123,,,
1 1 1
a1, 3 a2, 3 a3, 3
a1, a2, a3,
第i 行元素与矩阵B的第j 列对应元素乘积之和.
注意 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等
于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才
能相乘.
矩阵的乘法满足下述运算规律
1. (A)C B A (B)C 结合律 2 . A (B C )A B AC
(BC)AB A CA分配律
3 .( A ) ( B A ) B A (B ).
0 k 0
001
A
(6)
1 l 0
0 1 0
001
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 k 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 l 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
1 0 0
0 0 1
0 1 0
A
aaa123,,,
1 1 1
a1, 2 a2, 2 a3, 2
bki a jk
s
a
js
a jkbki ,
k 1
k 1
所以 dij c ji i 1,2, , n; j 1,2, , m,
即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.
方阵的行列式
定义 由 n 阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）
构成的行列式， 称为方阵 A 的行列式, 记作A . (其A 中 ,B是 n阶矩为 阵数 ，
222
初等矩阵的概念
定义 由单位 E矩阵经过一次初等变换得到 的方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1.对调两行或两列； 2.以数 k0乘某行或某列； 3.以数 k乘某行（列） 行加 （到 列另 ）一 上
1、对调两行或两列
方阵的行列式运算满足下述规律 :
1. AT A
2. AnA
3. AB AB
a11 a12 a13 1. 设Aa21 a22 a23， 那么
a31 a32 a33
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a21 a31 AT a12 a22 a32
a13 a23 a33
Recall 练习
1设
A=
aaa123,,,
1 1 1
a1, 2 a2, 2 a3, 2
a1, a2, a3,
333
计算并总结规律。
(１)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
(２)
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(3)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
A
(4)
A
1 0 0
0 0 1
0 1 0
(5)
1 0 0
a12
a22
a
m
2

a1n
a2n
amn
1 1
例
若
A
0
1
,
2 3
则AT
1 1
0 1
23.
矩阵的转置满足下述运算规律
1. (AT)TA
2 . (A B )TA TB T
3. (A)TAT
4 . (A ) T B BTAT
(ABC)T＝CTBTAT
对于多个矩阵相乘，有 A1A2
（i 1， 2， ， m； j 1， 2， ， n） .并把此乘积记作 Ｃ＝ＡＢ
由定义，一个１×ｓ行矩阵与一个ｓ×１ 列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数：
b1j
ai1,ai2,,aisb 2jai1b1j ai2b2j aisbsj
n
bsj
aikbkj cij
k1
定义５中矩阵Ｃ(=AB)的元素cij是矩阵A 的
矩阵的幂 A 是一个n 阶矩阵, k 是一个正整数,规定
Ak AAA
k个
矩阵的幂满足规律
A k A l A k l , A k l A k l .
其中 k , l 为正整数. 对于两个 n 阶矩阵 A与 B，一般说
(A)B kAkBk.
例8
1 0
0 2
0
0
0 k
k 1
0
n
At T AtT
A2T A1T
证明：设
A
aij
,B
ms
bij
,
sn
记
AB C
cij
, BT AT
mn
D
dij
.
nm
s
由矩阵的乘法定义，有
而BT的第i行为 b1i ,
c ji a jkbki ,
k 1
, bsi , AT的第j列为
a j1 ,
因此 dij
s
a1, a2, a3,
333
aaa132,,,
1 1 1
a1, 2 a3, 2 a2, 2
a1, a3, a2,
333
1 0 0
0 k 0
001 A
kaaa132,, ,111
a1, 2 k a2, 2 a3, 2
kaaa132,, ,333
1 l 0
0 1 0
0 0 1
A
la1,aa113,,11a2,1
a11 a21 a31 AT a12 a22 a32，
a13 a23 a33
a11 a21 a31 AT a12 a22 a32
a13 a23 a33
于是
AT AT A .
2. 设 A 为 3 阶矩阵, 为数, 那么
a11 Aa21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
于是
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a12 a13
3 a21 a22 a23 3 A.
a31 a32 a33
初等矩阵 & 初等变换
三种初等变换
1.对调两行或两列； 2.以数 k0乘某行或某列； 3.以数 k乘某行（列） 行加 （到 列另 ）一 上
矩阵的 转置、乘法（初等变换）、逆
内容提要
• 矩阵的下列运算的性质与应用 • 乘法 • 转置 • 初等变换 •逆
乘法
定义 设 A 矩 a im j n ， B 阵 b is j n ，
矩阵Ａ B 的 与 乘 矩 积 m 阵 n 矩 是C 阵 一 个 ｓ
cij mn，其c中 ij ai1b1j ai2b2j aisbs＝ j aikbkj ｋ1
0
0
0
k 2
0
0
0
k n
矩阵的转置
定义 把矩阵A的行列（按原顺序互换）互换所 得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，以AT表示。
即 A＝(aij)m×n，AT＝(aji)n×m
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
a
m1
am2
amn
a11 a21 am1
AT