L
d
p i
用来描述硬化程度
i
H(
L
d
p i
)
对上式求导，有：
H
di
d
p i
d 3dip 3di 2i 2iH
等效塑性应变总量：沿应变路径累积
Levy-Mises方程：
d ij
d ij '
3d i 2 iH
ij
'
Levy-Mises硬化材料本构方程
d x
3d i 2 iH
x
dy 23diHi y
d z
3d i 2 iH
z
d ij
3d
2
i
iH
ij
4. 全量理论（形变理论）
Hencky 全量理论，1924 应力偏量分量与塑性应变偏量分量（不含弹性部分）应相似且同轴：
p x
p y
p z
p xy
p yz
p zx
' x
' y
' z
xy
yz
zx
或
ij
' ij
物理概念： 1）塑性应变全量与应力主轴重合 2）塑性应变全量的分量与应力偏量分量成比例
dij d ij
Note:（1）已知应变增量分量且对于特定材料，可以 求得应力偏量分量或正应力之差 ，但一般不能求出正 应力的数值 ，因为这时平均应力未知。 （2）已知应力分量，能求得应力偏量，但只能求得应 变增量的比值而不能求得应变增量的数值（对于理想 塑性材料）。理想塑性材料应变分量的增量与应力分 量之间无单值关系（很多解），dλ不是常数。 （3）若两正应力相等，则由于应力偏量分量相同，相 应的应变增量也相同，反之亦然。 （4）若某一方向的应变增量为零，则该方向的正应力 应等于平均应力。
单向拉伸时的应力应变关系可以适应（推广）任意应力状态（二维、 三维应力状态）
3、弹性应力应变关系特点
① 线性
② 单值
③ 可逆
④ 应力主轴与应变主轴重合
⑤ 体积变化（平均应变）与静水 应力成比例
⑥ 应变偏量与应力偏量成比例
⑦ 单向拉伸时的应力应变关系可 以适应（推广）任意应力状态
i Ei
m
1 2
本构关系的建立
单向拉伸/压缩，可以测定应力应变曲线，用于确定塑性本构方程 塑性变形多为复杂应力状态，实验测定困难，需基于一定实验，通过
假设、推理，建立塑性本构方程
用拉伸曲线拟合出本构方程
K n&m
K n&m exp(bT s )
7.1 弹性状态和塑性状态的区别
7.1.1 弹性本构关系
2、塑性本构关系的要素
➢ 弹性本构关系：广义虎克定律（本构方程）
建立塑性本构关系需解决三个阶段问题：1）屈服；2）流动；3）硬化/软化
➢ 塑性本构关系三个要素：
➢ （1）初始屈服条件（Mises，Tresca屈服准则）； ➢ （2）本构方程/流动法则（增量理论、全量理论）； ➢ （3）硬化条件/加载条件（材料硬化模型/后继屈服模型 ）
2 xy
2 s
3
把应变增量与应力偏量成比例的假定带入Mises屈服方程：
d x d y d z d xy d yz d zx d
x
y
z
2 xy
2 yz
2 zx
i 1 2Fra bibliotekxy
2
y z
2
z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2 s
（2）双线性硬化模型
弹性： E tg i Ei
塑性：
硬化模量： E1 tg
0 s
i s E1(i s ) i s
（3）幂函数硬化模型（Hollomon） 多数金属材料，最常用
i
K
n i
n值：板料成形重要参数，抗拉伸失稳能力
钢：n=0.22-0.24 不锈钢：n=0.3-0.4
均与材料的物理性质无关，适用于任何连续介质。 但上述方程相互独立，缺乏相互联系，不足以求解实际问题（为什么？）
x x
xy y
xz z
0
yx x
y y
yz z
0
zx
zy
z
0
x y z
怎么建立？
x
u x
, y
v y
,z
w z
xy
v x
u y
,
yz
w y
v z
,
xz
w x
d
e ij
，服从虎克定律
d
e ij
1 2G
d ij
（a） （b）
（a）+（b）： Prandtl-Reuss方程
dij
d ij
1 2G
d ij
Levy-Mises方程：
Note:
（1）Prant-Reuss理论考虑了弹性变形，主要用于
小应变及求解弹性回复及残余应力问题
Lévy-Mises理论不考虑弹性变形，仅适于大应
i
1
2d
d1p
d
p 2
2
d
p 2
d
p 3
2
d
p 3
d1p
1
2
设
d
p i
2 3
d1p
d
p 2
2
d
p 2
d
p 3
2
d
p 3
d1p
1
2 2
i
3d
p i
2d
3di 2 s
（理想塑性材料-弹性应变忽略不计）
Levy-Mises增量理论的应力应变关系方程：
dx
3di 2 s
x
材料常数E，
钢：E 210GPa 铝：E 70GPa
0.3
体积应变与平均应力（静水压、应力球张量）
1
2
3
1 2
E
1
2
3
式中 1 2 3 3m ——体积变化率
1 2 3 3 m ——三倍的平均应力
m
1 2
E
m
体积的变化率与平均应力成正比 （平均应力与平均应变成比例）
应力偏量与弹性应变偏量关系
（4）swift模型
i A(B i )n
是Hollomon演化而来，仅以塑性段进行拟合 B为材料的屈服应变
7.3 应变增量理论和塑性流动理论
1、Levy-Mises增量理论
增量理论/流动理论——以增量形式表示的本构关系
（1）材料为理想刚塑性，服从Mises屈服准则 （2）应变增量主轴与应力主轴重合 （3）应变增量与应力偏量成比例
ij 0ij
0
3i 2s
(i,j x ,y ,z)
dij d ij
Note:（1）已知应变增量分量且对于特定材料，可以 求得应力偏量分量或正应力之差 ，但一般不能求出正 应力的数值 ，因为这时平均应力未知。
dx
3di 2 s
x
（2）已知应力分量，能求得应力偏量，但只能求得应 变增量的比值而不能求得应变增量的数值（对于理想 塑性材料）。理想塑性材料应变分量的增量与应力分 量之间无单值关系（很多解），dλ不是常数。
1 2 2 3 3 1
1
1 2 2 2 3 2 3 1 2 E 1 2 2 2 3 2 3 1 2 1
等效应力与等效应变成比例
其中：
1 2 2 2 3 2 3 1 2 2 i 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2 1 i
i Ei
等效应力与等效应变关系与单向拉伸时的应力应变关系相同
1、单向应力
E
单拉引起的应变怎么计算？
2、各向同性材料弹性本构关系——虎克定律
x
1 E
[ x
(
y
z)]
y
1 E
[
y
( z
x)]
z
1 E
[ z
( x
y)]
xy
1 G
XY
....
G E
2(1 )
剪切弹性模量
1
1 E
[1
( 2
3)]
2
1 E
[ 2
( 3
1)]
3
1 E
[ 3
(1
2 )]
1 m 2G 1 m
2 m 2G 2 m
3
m
2G 3
m
ij ' 2Gij '
应力偏量分量与应变偏量分量成比例 形状的变化是由应力的偏张量引起的
弹性变形时任意应力状态下等效应力与等效应变关系
用应力差与应变差成比例的形式表示为：
1 2 2 3 3 1 2G E
复杂应力状态：
idi 0 加载 idi 0 卸载 idi 0 中性变载（应力分量可能变化， i 不变）
5、硬化条件（单一曲线假设）
单向拉伸/压缩：应力-应变曲线
( )
加载点A：屈服应力 A (A )
含义：硬化材料 屈服应力随变形程度而提高， 且为瞬态应变函数。
复杂应力（二维、三维）， i s 达到屈服，硬化后 等效应力 i 提高， i 随等效应变增加而增加
3i 2 s
36
1943年 依留申提出的全量理论
在如下条件： 1）简单加载（外载荷按比例增加，无中途卸载） 2）体积不可压缩 （泊松比μ=0.5） 2）小弹塑性变形（塑性变形量与弹性变形相当）
3）硬化材料 i K或理in 想弹塑性材料
ij
G ij
E 2(1 ) ij
E 3 ij
对于多段加载情况，要得到最终的应力或应变解，要按每段的应力状态求 解，并把上一段的应力、应变解作为下一段的初值继续求解，通过积分求最终解。