松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl
2Gt t 1 2t
ij kl
2Gt ik lj
但其中的弹性系数Gt,μt也不是常数，也是应变或应力的函
数，分别称为切线弹性系数。可将它们看作与一定应力
（或应变）水平对应的切线常数（切线剪切模量和切线泊
在应力增量dσij作用下，应变增量dεij 可分
成弹性和塑性两部分。
d ij
d
p ij
d
e ij
d ij
D d ep ijkl kl
Dt ijkl
2Gt t 1 2t
ij kl
2Gt ik lj
切线弹性张量
e p
d e
A
B
d d
p
p ij
D p ijkl kl
e p p
d e d p d
g
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。塑性应变增量
可由势函数给出：
d
p ij
g,ij
d
因此正交（相d关 ip）j。流对f动正, i准j交d则准。则认，为塑塑性性流势动就方是向屈垂服直面于，
屈服面，加、卸载准则取决于非负的尺度因子dλ， 它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况。
4）弹塑性本构关系
在上述概念基础上，下面讨论材料非线性分 析的核心问题——正交流动弹塑性本构关系。
的扩张，后继屈服面仅与一个和内变量有关的
参数 有关，可表为：
f
(
ij
,
p ij
,
k
)
f
0 ( ij ) (k)
0
随动强化则认为屈服面大小和形状不变，仅
是整体地在应力空间中作平动，其后继屈服面
可表为：
f
(
ij
,
p ij
,
k)
f
0 ( ij
p ij
)
0
多数材料的屈服面介于两者间。如果应力空
间中应力方向变化不大，等向强化与实际较符
塑性加载
中性变载 塑性卸载
2-1）理想弹塑性材料
由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展
而改变，因此屈服面为 f 0 ( ij。) 用0 公式表示理 想弹塑性材料的加卸载准则为：
0 卸载，弹性 l1 f ,ij d ij 0 加载，塑性
2-2) 具有强化的弹塑性材料
0
l1 f ,ij d ij 0
反向屈服点
1) 屈服准则
判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈服条件
或塑性条件。弹性和塑性区的分界面称为屈服面。
从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称初始屈服
条件，产生塑性变形后的屈服条件称后继屈服条件。
初始屈服条件可表为：f 0 (ij ) 0 ，它只与当前应力状
态有关。初始屈服条件称初始屈服面，后继屈服条件
合。它的数学处理简单，故应用较广。但当需
考虑循环荷载下耗能时，随动强化可反应包辛
格效应，因此应该用它。
2）塑性状态的加载和卸载准则
在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新 的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。
如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是 纯弹性的，此过程称塑性卸载。
应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发 生，此时称中性变载。Leabharlann 0卸载，弹性 中性变载，塑性
加载，塑性
塑性加载
中性变载 f ,ij
f ,ij 塑性加载
卸载 f 0
卸载 后继面 f 0
理想弹塑性材料 等向强化弹塑性材料
中性变载 f ,ij 加 载 后继面
f 0卸载 卸载
随动强化弹塑性材料
3）流动准则
在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一个势函
数（简称塑性势）
但其中的弹性系数Gs,μs不再是常数，它们是应变或应力的函数，
分别称为割线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平
对应的割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。
例如对混凝土，Andenaes等依据实验给出，
八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
一般是根据材料的力学试验通过拟合来得到的。
在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增量形本构关系。
全量形式本构关系
全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即
ij
Ds ijkl kl
式中
Ds ijkl
为割线弹性张量，形式上它仍可表为
Ds ijkl
2Gs s 1 2s
ij kl
2Gs ik lj
e
e ij
Dijkl kl
d d e d p
d
p ij
Dijkl
d
p kl
d
e ij
Dijkl d kl
应力、应变关系示意d ij
d
e ij
- dipj
Dijkld
e kl
k（又称硬化参数）有多种取法，可以是塑性功、塑性体
并有 Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
K G εoct
s
K G e oct
s
(c oct ) p
OCT
1 3
( 1
2
3)
OCT
2 3
2 12
2 23
2 31
8
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，
B c
为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验
确定的常数。
增量形式本构关系
增量本构关系的表达形式为
同济大学土木学院桥梁工程系
有限单元法II
——2012级硕士生课程
同济大学土木工程桥梁工程系
弹塑性本构关系简介
1 弹塑性力学有关内容简介 2 几种常用弹塑性材料模型简介 3 弹塑性矩阵的建立步骤
材料非线性有限元分析
弹塑性问题的有限单元法
本构关系
一般情况下本构关系可表为
ij fij ( kl )