?p ij
?
0
可将Druker塑性公设改写成：
WD
?
(?ij
?
?0 ij
)d?
p ij
?
0
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1 d? p d ? p
2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
WI
?
WD
?
（4）德鲁克公设的适用条件：
①? ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
②? ij0在塑性势面与屈服面
之间时，德鲁克公设不成立；
屈服面 势面线
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。
附加应力功为非负的条件
3.1.3 依留申塑性公设的表述
依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内， 外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变 形，如果做功为零，只有弹性变形发生。
设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继
续应加变载dε到ijpσ，ij+最dσ后ij，应在力这又一卸阶回段到，σij将0。产若生整塑个性
应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
1 2
d
?ij
ห้องสมุดไป่ตู้d?
p
ij
?
(?ij
?
?
0 ij
?
1 2
d?ij
)d?
p
ij
?
0
上式表明，如果德鲁克塑性公设成立，WD≥0，则依留申塑性公 设也一定成立，反之，依留申塑性公设成立，并不要求WD≥0， 也就是说，德鲁克塑性公设是依留申塑性公设的充分条件，而
不是必要条件。 当应力点由A到B时，
?
d? ? 0
弹塑性力学本构关系
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
附加应力对附加应变做功 为非负，即有 ? ?? ? ? 0
（应变硬化和理想塑性材料）
非稳定材料
附加应力对附加应变负做 功，即 ? ?? ? ? 0
（应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
d? 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
标量dλ，称
为塑性因子
d?ipj
?
d?
??
?? ij
切平面 加载面
表明，塑性应变分量 σij之间的比例可由在 加载面上 Φ的位置确定。
?
d? ijd?ijp ? 0 ?
? dσ
?n?
?
0
加载准则
意义：只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。
?|
A0 A|| d? p
| cos?
?
0
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
? ij
?0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
? ?? /2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
d?
p ij
?
D
d
?p ij
式中，D为弹性矩阵。
根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
? WI ? ? ij d?ij ? 0 ?i0j
只有在弹性应变时，上述 WI=0。
根据Druker塑性公设
当?
0 ij
?
?
ij时
(?
ij
?
?
0 ij
)d
d ?ij ? 0
由于弹性应变 εije在应力循 环中是可逆的，因而
? (?
ij
??
? )d 0
e
ij
ij
?
0
?
0 ij
于是有：
? WD ? WDp ?
(?
ij
??
? )d 0
p
ij
ij
?
0
?
0 ij
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
? WD ? WDp ?
(?
ij
?
?
? )d 0
p
ij
ij
?
0
?
0 ij
在应力循环中，外载所作的 功为：
? W ?
?
?
0 ij
ij
d ?ij
?
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
? ? ? W ?
?
0 ij
?
ij
?
?
0 ij
d?
p ij
?
0
应变空间加 载面外凸
2
③
②
塑性势面与屈服面相同
?0 ij
?
?ij时，
d?ij
d?
p ij
?
0
加载准则(取大于号表示 有新的塑性变形发生)
根据
d?
p ij
关于?
?0
的正交法则，可得：
d?
p ij
?
d?
?? ??ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
d? ? 0
CD
AB
dσ<0,但dσp>0,塑性变形
dεp>0，总变形dε>0
d? d?p ? 0 d? d? p ? 0
d? ? 0
?
d? ? 0
?
WI
?
(?ij
?
?
0 ij
?
1
d?ij )d?
p
ij
2
?
WD
?
1
d ? ij d?
p
ij
?
WD
?
0
①
?ij
?
?0 ij
?
0时，
(?ij
?
?0 ij
)
3德鲁克塑性公设的评述
?德鲁克公设的适用条件：
（1）应力循环中外载所作
的真实功与? ij0起点无关；
??
?
p ij
ij d ?ij
?
0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
? ? ? ?
0 ij
?
ij
?
?
0 ij
d? ij
?
0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
设材料单元体经历任意应力
历即史初后始，的在应应变力εσij0ij在0下加处载于面平内衡，，然
后在单元体上缓慢地施加荷载，使
ε应变原i变d先j达ε点的到ijp应ε屈。变ij服+然状d面后ε态，卸ij，ε再载此ij继0使，时续应并产加变产生载又生塑达回了性到到与应
塑性变量所对应的残余应力增量 dσijp。
WD
?
(?
ij
?
ad ? ij
?
?
0 ij
)d
?p ij
?
0
1? a ? 1 2
当?
0 ij
?
?
ij时,略去无穷小量
(?
ij
??
0 ij
)d
?p ij
?
0
当?
0 ij
?
?
ij时，
d?
?d p
ij ij
?
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
1 屈服曲面的外凸性
(?
ij
??
0 ij
)d?ipj