成都七中2015届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题数学(理科参考答案)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.15; 12.[)5,7; 13.450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,,; 14.3:2:1; 15.②④. 提示:9.构造函数()()x f x g x e =,则2()()()()()()x x x xf x e e f x f x f xg x e e''--'==, ∵任意x R ∈均有()()f x f x '>,并且0x e >,∴()0g x '<,故函数()()x f x g x e=在R 上单调递减,也就是20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -><故选C. 10. 不妨设a b ≤,122222221bcabbbb bc b +<=+≤+=⇒<≤+,,b c Z ∈,1c b ∴=+,1222b a b +∴=+1a bc ⇒==-.a b t c +∴=22c=-. ,a t Z ∈,1,2c ∴=±±,0,1,3,4t∴=,故2max 2(log )log 42t ==.15.②④由题,“可平行性”曲线的充要条件是:对域内1x ∀都21x x ∃≠使得12()()f x f x ''=成立.①错,12(2)y x x '=-+,又1212112(2)2(2)x x x x -+=-+ 1212x x ⇔=,显然12x =时不满足;②对,由()()()()f x f x f x f x ''=--⇒=-即奇函数的导函数是偶函数,对10x ∀≠都21x x ∃=-使得12()()f x f x ''=成立(可数形结合);③错,2()32f x x x a '=-+,又当时,2211223232x x a x x a -+=-+2212123()2()x x x x ⇔-=-1223x x ⇔+=,当11=3x 时不合题意;④对,当0x <时,()(0,1)xf x e '=∈,若具有“可平行性”,必要条件是:当0x >时,21()1(0,1)f x x'=-∈,解得1x >,又1x >时,分段函数具有“可平行性”,1m ∴=(可数形结合).三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,依题意,有 52115,51020a a d S a d =+=-=+=-.联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩,解得161a d ⎧⎨⎩=-=.∴ 6(1)17n a n n =-+-⋅=-. n N *∈ ……………6分 (Ⅱ) 7n a n =-,∴1()(13)22n n a a n n n S +-==. 令(13)72n n n ->-,即215140n n -+> , ……………10分 解得1n <或14n >. 又*n ∈N ,∴14n >.n ∴的最小值为15. ……………12分17.解:(Ⅰ)∵asinA=(a-b)sinB+csinC ,结合0C π<<,得3C =. …………………………………………………6分(Ⅱ)由 C=π-(A+B),得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA , ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ,∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ,整理得sinBcosA=3sinAcosA . (8)分 若cosA=0,即A=2π时,△ABC 是直角三角形,且B=6π,于是b=ctanB=2tan6π,∴ S △ABC =12. ……………………10分 若cosA ≠0,则sinB=3sinA ,由正弦定理得b=3a .② 联立①②,结合c=2,解得,∴ S △ABC =12absinC=12.综上,△ABC 12分18.(Ⅰ)证明:连接AC 交BE 于点M ,连接FM .由//EM CD12AM AE PFMC ED FC∴===. //FM AP ∴. ………………4分 FM BEF PA BEF ⊂⊄面,面, //PA BEF ∴面.………………6分(Ⅱ)连CE ,过F 作FH CE ⊥于H .由于//FH PE ,故FH ABCD ⊥面.过H 作HM BE ⊥于M ,连FM .则FM BE ⊥,即FMH ∠为二面角F BE C --的平面角. 60,FMH FH ∴∠==.23FH PE =,1233MH BC AE ==PE ∴=.………………10分1,AE PE =∴=在Rt PBE ∆中,3BE =,tan PBE ∴∠=,6PBE π∴∠=.∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π. ……………12分 解法二:以E 为坐标原点,,,EB ED EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. (0,0,0),(3,0,0),(0,0,),(3,2,0)E B P m C2CF FP = ,22(1,,)33F m ∴.………………7分设平面BEF 的法向量1(,,)n x y z =,由n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1n =(0,,1)m -. 又面ABCD 法向量为2(0,0,1)n =.由1212cos 60n n nn ⋅=⋅ , 解得m =.………………10分在Rt PBE ∆中,3BE =, tan 3PBE ∴∠=,6PBE π∴∠=.∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π. ……………12分 19.解:(Ⅰ)由直方图知:(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………………4分(Ⅱ)根据频率分布直方图和统计表可知道:[15,25)的人数为0.01510609⨯⨯=人,其中1人不赞成.[25,35)的人数为0.01510609⨯⨯=人,其中2人不赞成. ………………6分X 的所有可能取值为0,1,2,3.338733995(0)18C C P X C C ==⋅=,23312878273333999917(1)36C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=, 212321827827333399992(2)9C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=,21287233991(3)36C C C P X C C ==⋅=.……………10分 X∴的分布列为012311836936EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………12分20.(Ⅰ)解 由e =32,得c =32a ,又b 2=a 2-c 2,所以b =12a ,即a =2b . 由左顶点M (-a,0)到直线x a +y b =1,即bx +ay -ab =0的距离d =455,得|b (-a )-ab |a 2+b 2=455,即2ab a 2+b 2=455,把a =2b 代入上式,得4b 25b 2=455,解得b =1.所以a =2b =2,c = 3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. ………………3分(Ⅱ)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),①当直线AB 的斜率不存在时,则由椭圆的对称性,可知x 1=x 2,y 1=-y 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点,故OA →·OB →=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,也就是x 21-y 21=0,又点A 在椭圆C 上,所以x 214-y 21=1, 解得|x 1|=|y 1|=255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1=|x 1|=255. ②当直线AB 的斜率存在时, 设直线AB 的方程为y =kx +m , 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 2=1, 消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0,所以x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ,所以OA ⊥OB . 所以OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=0. 所以(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0. 所以(1+k 2)·4m 2-41+4k 2-8k 2m 21+4k2+m 2=0. 整理得5m 2=4(k 2+1), 所以点O 到直线AB 的距离d 1=|m |k 2+1=255.综上所述,点O 到直线AB 的距离为定值255. ………………8分(Ⅲ)解 设直线OA 的斜率为k 0. 当k 0≠0时,则OA 的方程为y =k 0x ,OB 的方程为y =-1k 0x ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k 0x ,x 24+y 2=1,得⎩⎨⎧x 21=41+4k 20,y 21=4k 201+4k 20.同理可求得⎩⎨⎧x 22=4k 20k 20+4,y 22=4k 20+4.故△AOB 的面积为S =121+k 20·|x 1|·1+1k 20·|x 2|=2(1+k 20)2(1+4k 20)(k 20+4). 令1+k 20=t (t >1),则S =2t 24t 2+9t -9=21-9t 2+9t+4,令g (t )=-9t 2+9t +4=-9(1t -12)2+254(t >1),所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k 0=0时,可求得S =1,故45≤S ≤1,故S 的最小值为45. ………………13分 直线的参数方程也可以做,更简洁。
21.解:(Ⅰ)由题意得ln ()(1ln )x f x a x x ⋅=-⋅()(1)ln xf x ax x x∴=-≠. ………………2分 ()f x 在(1,)+∞上是减函数,∴等价于2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立max 2ln 1()(ln )x a x -⇔≥.…………4分 222ln 1111111()()(ln )ln ln ln 244x x x x x -=-+=--+≤,当且仅当11ln 2x =即2x e =时取到最大值. ∴1=4a . ………………6分(Ⅱ)题意等价于min max 1()(())4f x f x a '≤+=.由(Ⅰ)知2111()()ln 24f x a x '=--+-. 2e x e ≤≤,∴1112ln x≤≤. ∴()f x '在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增,且()f x '的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. ………8分 1 当0a ≤时,()0f x '≥,()f x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增,min 1()()4f x f e e ae ==-≤11-04a e⇒≥>与前提矛盾,无解. 2 当14a ≥时,()0f x '≤,()f x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减, 222min1()()24e f x f e ae ==-≤2111244a e ⇒≥->.∴21124a e ≥-. 3 当104a <<时, ()y f x '=存在唯一零点20(,)x e e ∈,且[]0,x e x ∈时,()0f x '≤,()f x 单调递减,(20,x x e ⎤∈⎦时,()0f x '>,()f x 单调递增,0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ∴==-≤0011ln 4a x x ⇒≥-. 设211()()ln 4h x e x e x x =-<<,2111()()(ln )4h x x x x'∴=--, 211(,1)(ln )4x ∈,2111(,)444x e e ∈211()0()(ln )4h x h x x x '>∴<∴单减. 222111111111()ln 4ln 424244h x x x e e e ∴=->-=->-=. 00111ln 44a x x ⇒≥->与前提矛盾,无解. 综上所述,实数a 的取值范围是211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. ………………14分 也可分离参数做,更简洁.。