四川省凉山州西昌市2018-2019学年上学期期末高二数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知直线l的方程：2x+y﹣7=0，则l的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．圆M的方程：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，则其圆心M的坐标及半径r为（）A．M（﹣1，1），r=2 B．M（﹣1，1），r=4 C．M（1，﹣1），r=2 D．M（1，﹣1），r=4 3．某校高一学生1500人，高二学生1200人，高三学生1300人，为了调查高中各年级学生的寒假学习计划，决定采用分层抽样法抽取200人进行调查，则应从高二年级抽取的人数为（）A．75 B．65 C．60 D．404．设命题p：∀x＞1，x2+1＞2，则￢p为（）A．∀x＞1，x2+1≤2 B．∃x＞1，x2+1≤2 C．∀x≤1，x2+1≤2 D．∃x≤1，x2+1≤25．已知双曲线：x2﹣=1上一点P到它的一个焦点的距离为2，则它到另一个焦点的距离为（）A．3 B．4 C．6 D．2+2根据如表，利用最小二乘法得到回归直线方程=0.7x+0.55，据此判断，当x=5，时，与实际值y的大小关系为（）A．＞y B．＞y C． =y D．无法确定7．直线l的倾斜角为，将l绕它与x轴的交点逆时针方向旋转后所得直线的斜率为k，则将k值执行如图所示程序后，输出S值为（）A．B．﹣C． D．﹣8．设空间直角坐标系中A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），则点P（x，y，3）到平面ABC的距离是（）A．0 B．1 C．2 D．39．直线x+2y﹣2=0与直线3x+ay+b=0之间的距离为，则实数b=（）A．9 B．﹣21 C．9或﹣21 D．3或710．椭圆4x2+5y2=1的左、右焦点为F，F′，过F′的直线与椭圆交于M，N，则△MNF的周长为（）A．2 B．4 C．D．411．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=交于点M，设其右焦点为F，且点F到渐近线的距离为d，则（）A．|MF|＞d B．|MF|＜dC．|MF|=d D．与a，b的值有关12．若∀λ∈R，直线（λ+3）x﹣（λ﹣1）y+λ﹣5=0与圆x2+y2=r2有公共点，则实数r的取值范围是（）A．r≤﹣，或r≥B．r≥C．﹣≤r≤D．0＜r≤二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为______．14．“x＞1”是“x2＞1”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）15．抛物线y2=8x上一点P（m，n），F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则m=______．16．椭圆+=1（a＞b＞0）中，F1，F2为左、右焦点，M为椭圆上一点且MF2⊥x轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍（O为坐标原点），则该椭圆的离心率e=______．三、解答题:(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．（1）求直线BC的一般式方程；（2）求△ABC的外接圆的标准方程．18．已知圆O：x2+y2=1，点P（﹣1，2），过点P作圆O的切线，求切线方程．19．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题比较突处，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，假设采用抽样调查方式，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t ），并用这些样本数据分成9画出频率分布直方图，其中第3、4、5、6组的高度分别是0.15、0.22、0.25、0.14，第7、8、9、组高度比为3：2：1，直方图如图： 根据频率分布直方图：（1）分别求出第7、8、9组的频率； （2）求该市居民均用水量的众数、平均数；（3）若让88%的居民用水量均不超标，用水标准定为多少，比较合适？20．直线3x+4y+4=0与圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+a=0有两交点A ，B ． （1）写出圆C 的标准方程；（2）若△ABC 是正三角形，求实数a 的值．21．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）过点（4，4），它的焦点F ，倾斜角为的直线l 过点F 且与抛物线两交点为A ，B ，点A 在第一象限内． （1）求抛物线和直线l 的方程； （2）求|AF|=m|BF|，求m 的值．22．已知动点M 在运动过程中，总满足|MF 1|+|MF 2|=2，其中F 1（﹣1，0），F 2（1，0）． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）斜率存在且过点A （0，1）的直线l 与轨迹E 交于A ，B 两点，轨迹E 上存在一点P 满足=+，求直线l 的斜率．四川省凉山州西昌市2018-2019学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知直线l的方程：2x+y﹣7=0，则l的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】直线的斜率．【分析】直接利用直线方程求出直线的斜率即可．【解答】解：直线l的方程：2x+y﹣7=0，即y=﹣2x+7，直线的斜率为：﹣2．故选：B．2．圆M的方程：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，则其圆心M的坐标及半径r为（）A．M（﹣1，1），r=2 B．M（﹣1，1），r=4 C．M（1，﹣1），r=2 D．M（1，﹣1），r=4 【考点】圆的一般方程．【分析】化简圆的方程为标准方程，求出圆心与半径即可．【解答】解：圆M的方程：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，化为：（x+1）2+（y﹣1）2=4．其圆心M的坐标（﹣1，1）及半径r为2．故选：A．3．某校高一学生1500人，高二学生1200人，高三学生1300人，为了调查高中各年级学生的寒假学习计划，决定采用分层抽样法抽取200人进行调查，则应从高二年级抽取的人数为（）A．75 B．65 C．60 D．40【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．【解答】解：由分层抽样的定义得高二年级抽取的人数为1200×=60人，故选：C．4．设命题p：∀x＞1，x2+1＞2，则￢p为（）A．∀x＞1，x2+1≤2 B．∃x＞1，x2+1≤2 C．∀x≤1，x2+1≤2 D．∃x≤1，x2+1≤2 【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞1，x2+1＞2，则￢p为：∃x＞1，x2+1≤2．故选：B．5．已知双曲线：x2﹣=1上一点P到它的一个焦点的距离为2，则它到另一个焦点的距离为（）A．3 B．4 C．6 D．2+2【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据条件求出a=1；再根据双曲线定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=1．根据双曲线的定义得：2a=d﹣2⇒d=2a+2=4．故选：B．根据如表，利用最小二乘法得到回归直线方程=0.7x+0.55，据此判断，当x=5，时，与实际值y的大小关系为（）A．＞y B．＞y C． =y D．无法确定【考点】线性回归方程．【分析】利用回归直线方程求出，然后判断大小．【解答】解：回归直线方程=0.7x+0.55，可得x=5时， =4.05．显然＞y．故选：B．7．直线l的倾斜角为，将l绕它与x轴的交点逆时针方向旋转后所得直线的斜率为k，则将k值执行如图所示程序后，输出S值为（）A．B．﹣C． D．﹣【考点】程序框图．【分析】由已知可求直线l的斜率，从而可求旋转后的直线的斜率，执行程序框图，可得k=﹣时，满足条件k＜0，S=﹣k=．【解答】解：∵直线l的倾斜角为，则其斜率为：tan=，∵将l绕它与x轴的交点逆时针方向旋转后所得直线的斜率为k，∴k=tan（+）=﹣，∴执行程序框图，可得k=﹣时，满足条件k＜0，S=﹣k=．故选：C．8．设空间直角坐标系中A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），则点P（x，y，3）到平面ABC的距离是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】判断A，B，C与P的位置关系，然后求解点P（x，y，3）到平面ABC的距离．【解答】解：空间直角坐标系中A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），可知A，B，C都在平面x0y平面，点P（x，y，3）是与x0y平面平行，距离为3，所以点P（x，y，3）到平面ABC的距离是3．故选：D．9．直线x+2y﹣2=0与直线3x+ay+b=0之间的距离为，则实数b=（）A．9 B．﹣21 C．9或﹣21 D．3或7【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用相互平行的直线斜率之间的关系可得a，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线x+2y﹣2=0与直线3x+ay+b=0之间的距离为，∴两条直线平行，则=﹣，解得a=6．∴3x+ay+b=0化为：x+2y+=0，∴=，解得b=9或﹣21．故选：C．10．椭圆4x2+5y2=1的左、右焦点为F，F′，过F′的直线与椭圆交于M，N，则△MNF的周长为（）A．2 B．4 C．D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义可知|FM|+|F′M|和|FN|+|F′N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．【解答】解：椭圆4x2+5y2=1可得a=，利用椭圆的定义可知，|FM|+|F′M|=2a=1，|FN|+|F′N|=2a=1，的周长为|FM|+|F′M|+|FN|+|F′N|=1+1=2．∴△MNF2故选：A．11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=交于点M，设其右焦点为F，且点F到渐近线的距离为d，则（）A．|MF|＞d B．|MF|＜dC．|MF|=d D．与a，b的值有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=的交点坐标，可得|MF|，求出点F到渐近线的距离d，即可得出结论．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x与直线x=交于点M（，），∴|MF|==b，点F到渐近线的距离为d==b，∴|MF|=d，故选：C．12．若∀λ∈R，直线（λ+3）x﹣（λ﹣1）y+λ﹣5=0与圆x2+y2=r2有公共点，则实数r的取值范围是（）A．r≤﹣，或r≥B．r≥C．﹣≤r≤D．0＜r≤【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线过定点，利用直线（λ+3）x﹣（λ﹣1）y+λ﹣5=0与圆x2+y2=r2有公共点，建立不等式，即可求出实数r的取值范围．【解答】解：由直线（λ+3）x﹣（λ﹣1）y+λ﹣5=0，可得λ（x﹣y+1）+（3x+y﹣5）=0，令，∴x=1，y=2，∵直线（λ+3）x﹣（λ﹣1）y+λ﹣5=0与圆x2+y2=r2有公共点，∴12+22=1+4≤r2，∴r≤﹣，或r≥，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=2，∴双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，即y=±x．故答案为：y=±x．14．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．15．抛物线y2=8x上一点P（m，n），F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则m= 3 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得m值．【解答】解：∵抛物线y2=8x上一点P（m，n），F为抛物线的焦点，|PF|=5，∴m+2=5，解得：m=3， 故答案为：3． 16．椭圆+=1（a ＞b ＞0）中，F 1，F 2为左、右焦点，M 为椭圆上一点且MF 2⊥x 轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍（O 为坐标原点），则该椭圆的离心率e=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，可得M （c ，），利用△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍，可得=3×，b=a ，求出a ，c 的关系，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，可得M （c ，），∵△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍，∴=3×，∴b=a ，∴c==a ，∴e==．故答案为：．三、解答题:(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设平面直角坐标系中，A （﹣1，1），B （﹣1，2），C （﹣4，1）． （1）求直线BC 的一般式方程；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程．【考点】待定系数法求直线方程；圆的标准方程． 【分析】（1）根据A （﹣1，1），B （﹣1，2），可知直线BC 的斜率不存在，即可得出一般式方程；（2）根据k AC =0，直线AB 的斜率不存在，可得AB ⊥AC ．利用直角三角形的外接圆的性质即可得出．【解答】解：（1）∵A （﹣1，1），B （﹣1，2），∴直线BC 的一般式方程为：x+1=0； （2）∵k AC =0，直线AB 的斜率不存在， ∴AB ⊥AC ．∴△ABC 是直角三角形．线段BC 的中点，为△ABC 外接圆的圆心．外接圆的半径r===．∴△ABC的外接圆的标准方程为： +=．18．已知圆O：x2+y2=1，点P（﹣1，2），过点P作圆O的切线，求切线方程．【考点】圆的切线方程．【分析】当过点（﹣1，2）的直线斜率不存在时，方程是x=﹣1，通过验证圆心到直线的距离，得到x=﹣1符合题意；当过点（﹣1，2）的直线斜率存在时，设直线方程为y﹣2=k（x+1），根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于k的方程，即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为原点，半径为1（1）当过点（﹣1，2）的直线垂直于x轴时，此时直线斜率不存在，方程是x=﹣1，因为圆心O（0，0）到直线的距离为d=1=r，所以直线x=﹣1符合题意；（2）当过点（﹣1，2）的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0 ∵直线是圆x2+y2=1的切线∴点O到直线的距离为d==1，解之得k=﹣，此时直线方程为3x+4y﹣5=0综上所述，得切线方程为切线方程为3x+4y﹣5=0或x=﹣1．19．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题比较突处，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，假设采用抽样调查方式，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t），并用这些样本数据分成9画出频率分布直方图，其中第3、4、5、6组的高度分别是0.15、0.22、0.25、0.14，第7、8、9、组高度比为3：2：1，直方图如图：根据频率分布直方图：（1）分别求出第7、8、9组的频率；（2）求该市居民均用水量的众数、平均数；（3）若让88%的居民用水量均不超标，用水标准定为多少，比较合适？【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据频率直方图和频率之和为1，以及第7、8、9、组高度比为3：2：1，即可求出第7、8、9的频率，（2）根据众数平均数的定义即可求出，（3）因为后三组频率之和为0.12，让88%的居民用水量均不超标，故可以求出水标准．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知第1组为0.04，第2组为0.08，则第7、8、9组的频率之和为=1﹣（0.04+0.08+0.15+0.22+0.25+0.14）=0.12，又第7、8、9、组高度比为3：2：1，故第7、8、9的频率分别为0.06，0.04，0.02．（2）平均数为0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.22+4.5×0.25+5.5×0.14+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02=4.04，因为第5组频率最大，故居民均用水量的众数为4.5，（3）因为后三组频率之和为0.12，故后三组属于超标，所以用水标准为6比较合适．20．直线3x+4y+4=0与圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+a=0有两交点A ，B ．（1）写出圆C 的标准方程；（2）若△ABC 是正三角形，求实数a 的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用配方法，可得圆C 的标准方程；（2）若△ABC 是正三角形，C 到直线的距离等于，即可求实数a 的值．【解答】解：（1）圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+a=0，化为标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=﹣a+5；（2）∵△ABC 是正三角形，∴C 到直线的距离等于，∴=， ∴a=﹣7．21．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）过点（4，4），它的焦点F ，倾斜角为的直线l 过点F 且与抛物线两交点为A ，B ，点A 在第一象限内．（1）求抛物线和直线l 的方程；（2）求|AF|=m|BF|，求m 的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）抛物线y 2=2px （p ＞0）过点（4，4），代入，求出p ，可得抛物线方程，求出焦点F （1，0），可得直线方程；（2）y=（x ﹣1）与抛物线方程联立，可得3x 2﹣10x+3=0，求出A ，B 的横坐标，即可求m 的值．【解答】解：（1）∵抛物线y 2=2px （p ＞0）过点（4，4），∴16=8p ，∴p=2，∴抛物线的方程为y 2=4x ，焦点F （1，0），直线方程为y=（x ﹣1）；（2）y=（x ﹣1）与抛物线方程联立，可得3x 2﹣10x+3=0，∴x=或3，∴|AF|=3+1=4，|BF|=+1=，∵|AF|=m|BF|，∴m=3．22．已知动点M 在运动过程中，总满足|MF 1|+|MF 2|=2，其中F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）斜率存在且过点A （0，1）的直线l 与轨迹E 交于A ，B 两点，轨迹E 上存在一点P 满足=+，求直线l 的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设动点M （x ，y ），推导出M 的轨迹为以F 1，F 2为焦点，以2为长轴的椭圆，由此能求出动点M 的轨迹E 的方程．（2）设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为y=kx+1，联立，得（1+2k 2）x 2+2kx=0，由此求出A 和B 的坐标，再设P （x ，y ），由轨迹E 上存在一点P 满足=+，求出x ，y ，代入椭圆方程给求出直线l 的斜率．【解答】解：（1）设动点M （x ，y ），∵F 1（﹣1，0），F 2（1，0），∴|MF1|+|MF2|=2＞2=|F1F2|，则M 的轨迹为以F 1，F 2为焦点，以2为长轴的椭圆，则a=，c=1，b2=a2﹣c2=1．∴动点M 的轨迹E 的方程为： +y 2=1． （2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=kx+1，联立，得（1+2k 2）x 2+2kx=0，∴A （0，1），B （﹣，），设P （x ，y ），∵轨迹E 上存在一点P 满足=+，∴（）=（，），∴，∴+=1，整理，得2k 4﹣k 2﹣1=0，解得k=±1．∴直线l 的斜率为±1．。