专题复习（三）——参数方程
基本知识点：
圆的参数方程：x a R y b R =+=+⎧⎨⎩cos sin θθ （θ为参数，几何意义，如图（a ，b ）为圆心，R 为半径） y
P(x,y)
O x θ
椭圆的参数方程：x x a y y b =+=+⎧⎨⎩00cos sin θθ （其中（x 0，y 0）为中心，a 、b 分别为长、短半轴长，θ为参数，叫离心角，如图）
基本思路：
有关“范围”“最值”问题由参数方程转化成三角函数问题比较简单
【典型例题】
例1. 已知点（，）是圆＝上任意一点，求的取值范围。

P x y x +y 122u x y =
++22
解：设，则x y u u u ==⎧⎨⎩=++⇒+=+cos sin cos sin sin cos θθθθθθ2222
sin()(tan )θϕϕ-=
-+=221
12u u u
|sin()||
|θϕ-≤∴-+≤122112，u u
解得：
473473-≤≤+u
例2. 已知，求的范围。

a a b b a b 22220++-=+
解：
()()a b ++-=11222
令a b =-+=+⎧⎨⎪⎩⎪1212cos sin θθ
则a b +=+=+224(cos sin )sin()θθθπ
∴-≤+≤22a b
例3. 已知对于圆x 2+(y-1)2=1上任意一点P （x ，y ），不等式x+y+m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围。

解：设x y ==+⎧⎨
⎩cos sin θθ1
则x y m m m ++=+++≥⇔≥---cos sin sin cos θθθθ101
⇔≥---=
-m [sin cos ]max θθ121
例4. 若，求：32622x y x += （1）x 2＋y 2的最大值；
（2）x ＋y 的最小值。

解： （）x y -+=12312
2
∴=+=⎧⎨⎪⎩⎪令x y 132cos sin θθ
则（）113292122422222x y +=++=--≤(cos )(
sin )(cos )θθθ
即()max x y 224+=
（）21321021x y +=++
=++cos sin sin()θθθϕ
∴+=-()max x y 110
2
例5. A 是椭圆长轴的一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA ＝90°，（O 为椭圆的中心），求椭圆离心率的取值范围。

解：设x a y b ==⎧⎨
⎩cos sin ϕϕ
则由，PO PA a b ⊥⇒(cos sin )ϕϕ0)sin 4cos (=-ϕϕb a ，
ϕϕϕ2222sin cos cos -=a b 即
⇒-=--a c a 222211cos (cos )cos ϕϕϕ ∴=
+≥e 21112cos ϕ
∴≤<221e
例6.
椭圆上一点到上顶点（，）距离的最大值x y m m P B m 22
241020+=<<()等于短轴长，求m 的取值范围。

解：设（，）P m 2cos sin θθ
则||(cos )(sin )(sin )(sin sin )PB m m m 22222224121=+-=-+-+θθθθθ =----+-()(sin )441642
2
222m m m m θ
sin θ
当时，才能使时，点位于下顶点时m m P 2
2411-≥=-sin θ
⇒==||()max PB m b 22
此时，m m m m 22420≥-∴≥>() 又，0222<<∴≤<m m
【模拟试题】
1. 动点M （x ，y ）在右半椭圆x y 2221+=上，则(
)min y x +=1________ 2. 实数满足
941622x y +=，求下列f 的最值 （1）f x y =+；（2）f x xy y =++22
3. 点P 在椭圆弧x y x y 22
259100+=≥≥()，上运动，点A （10，6）以PA 为对角线作
各边平行x ，y 轴的矩形，求矩形面积S 的最值。

4. 点A 在椭圆x y 2241+=上运动，点B 在圆C ：
x y 22213+-=()上运动，求|AB|的最值
5. 椭圆x y 22
941+=上动点P （x ，y ）与定点A （a ，0）（03<<a ）的距离的最小值
是1，求a 的值。

【试题答案】
1. 2
2
2. 令x y ==432cos sin θθ，
（1）±
2133；（2）26261
9± 3. 令
x y s s ====-5330159422cos sin ()
max min θθ，，， 4. 令x y AB AC r ===-=-211
3cos sin ||||min min θθ，，
||||max max AB AC r =+=+271
3
5. a =2。