第七章 激光特性的控制与改善习题1．有一平凹氦氖激光器，腔长0.5m ，凹镜曲率半径为2m ，现欲用小孔光阑选出TEM 00模，试求光阑放于紧靠平面镜和紧靠凹面镜处的两种情况下小孔直径各为多少？(对于氦氖激光器，当小孔光阑的直径约等于基模半径的3.3倍时，可选出基模。

)解：腔长用L 表示，凹镜曲率半径用1R 表示，平面镜曲率半径用2R 表示，则120.5m,2m,L R R ===∞由稳定腔求解的理论可以知道，腔内高斯光束光腰落在平面镜上，光腰半径为012141 ()] 0.42mmw L R L ==-≈共焦参量为22070.420.87m 632810w f ππλ-⨯==≈⨯ 凹面镜光斑半径为10.484mm w w w ==≈ 所以平面镜端光阑直径为 03.3 1.386mm D w =⨯=平 凹面镜端光阑直径为 13.3 1.597mm D w =⨯=凹2．图7.1所示激光器的M 1是平面输出镜，M 2是曲率半径为8cm 的凹面镜，透镜P 的焦距F =10cm ，用小孔光阑选TEM 00模。

试标出P 、M 2和小孔光阑间的距离。

若工作物质直径是5mm ，试问小孔光阑的直径应选多大？图7.112解：如下图所示：12P小孔光阑的直径为：31.061010022mm 0.027mm 2.5f d a λππ-⨯⨯==⨯≈⨯其中的a 为工作物质的半径。

3．激光工作物质是钕玻璃，其荧光线宽F ν∆=24.0nm ，折射率η=1.50，能用短腔选单纵模吗？解：谐振腔纵模间隔222q q c LLνηλλη∆=∆=所以若能用短腔选单纵模，则最大腔长应该为215.6μm 2L ληλ=≈∆所以说，这个时候用短腔选单纵模是不可能的。

6．若调Q 激光器的腔长L 大于工作物质长l ，η及'η分别为工作物质及腔中其余部分的折射率，试求峰值输出功率P m 表示式。

解：列出三能级系统速率方程如下：2121 (1)2 (2)R dN l NcN n dt L d nN n dtστσυ=∆-'∆=-∆式中，()L l L l ηη''=+-，η及'η分别为工作物质及腔中其余部分的折射率，N 为工作物质中的平均光子数密度，/,/R c L c υητδ'==。

由式(1)求得阈值反转粒子数密度为：21t R L n c lστ'∆=式(1)和(2)可以改写为：1 (3)2 (4)t Rt R dN n Ndt n d nn N L dt n lττη⎛⎫∆=- ⎪∆⎝⎭⎛⎫'∆∆=- ⎪∆⎝⎭(3)式除以(4)式可得：11 (5)2t n dN ld n n L η∆⎛⎫=- ⎪'∆∆⎝⎭ 将(5)式积分可得：1ln 2i i t i n l N N n n n n L η⎛⎫∆=+∆-∆+∆⋅ ⎪'∆⎝⎭当t n n ∆=∆时，m N N =，忽略初始光子数密度i N ，可由上式求出：1ln 12i i m t t t n n l N n L n n η⎛⎫∆∆=∆-- ⎪'∆∆⎝⎭设工作物质的截面积为S ，输出反射镜透射率为T ，则峰值功率为：11ln 124i i m m t t t n n c lP N h ST ch ST n L n n ννη⎛⎫∆∆==∆-- ⎪'∆∆⎝⎭7．图7.3所示Nd:Y AG 激光器的两面反射镜的透过率分别为T 2=0，T 1=0.1，021mm ω=，l =7.5cm ，L =50cm ，Nd:Y AG 发射截面1928.810cm σ-=⨯，工作物质单通损耗T i =6%，折射率η=1.836，所加泵浦功率为不加Q 开关时阈值泵浦功率的二倍，Q 开关为快速开关。

试求其峰值功率、脉冲宽度、光脉冲输出能量和能量利用率。

图7.3解：21221631916314311ln2(1)(1)(1)11 ln 0.1120.90.940.11 1.710cm 8.8107.51ln 121 1.8367.5 (2ln 21) 1.710cm 27.5 1.83642.5 6.3810cm i t i i m t t t T T T n l n n lN n L n n δδση---=---==⨯∆===⨯⨯⨯⎛⎫∆∆=∆-- ⎪'∆∆⎝⎭⨯=⨯--⨯⨯⨯+=⨯峰值功率为：102143424121(310)0.1 6.3810 6.62610()0.12 1.836 1.06102 767.7Wm m cP N h ST νηπ--=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 由图7.3.5可以查得，当/2i t n n ∆∆=的时候，能量利用率0.797μ=。

所以光脉冲的输出能量为：10342164()()2220.13100.10.797 6.62610()7.5 1.71020.11 1.061020.068mJ i t n T TE h S l h S l n μνμνδδπ--∆=⋅⋅=⋅⋅∆⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 脉冲宽度为：30.068100.89ns 767.7m E P τ-⨯≈==8．Q 开关红宝石激光器中，红宝石棒截面积S =1cm 2，棒长l =15cm ，折射率为1.76，腔长L =20cm ，铬离子浓度1931.5810cm N =⨯，受激发射截面2021.2710cm σ-=⨯，光泵浦使激光上能级的初始粒子数密度1932i 10cm n -=，假设泵浦吸收带的中心波长0.45μm λ=，E 2能级的寿命23ms τ=，两平面反射镜的反射率与透射率分别为r 1=0.95，T 1=0，r 2=0.7，T 2=0.3。

试求：(1)使E 2能级保持1932i 10cm n -=所需的泵浦功率P p ；(2)Q 开关接通前自发辐射功率P ； (3)脉冲输出峰值功率P m ；(4)输出脉冲能量E ； (5)脉冲宽度τ(粗略估算)。

解：(1) 欲使19322i 10cm n n -==，所需要的泵浦功率为：1934822136210 6.626103101153100.4510 22.1KWip n P h S l ντ---⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=⨯⨯⨯= (2) Q 开关接通前自发辐射功率221212120.4522.114.3KW 0.6943ip n P h S l P νντν=⋅⋅=⋅=⨯= (3)121832019322218321210211ln ln(0.70.95)0.2220.2 1.0510cm 1.271015()210(2 1.58)cm 4.210cm 1(ln 1)4115 (310) 6.6264 1.76155t i i i i i i m t t tr r n l n n n n n n n n lP ch ST n L n n δδσν----=-=-⨯=∆===⨯⨯⨯∆=--=-=⨯-=⨯∆∆=∆--'∆∆=⨯⨯⨯⨯⨯+183440.3 1.0510 4.2 4.210(ln 1)0.694310 1.05 1.05 522MW--⨯⨯⨯⨯⨯--⨯=(4) 由/4i t n n ∆∆=，可以从图7.3.5查得能量利用率0.98μ=，输出能量为：221818346()220.3310 4.210 0.98 6.626101150.40.6943102 6.63J i n T E h S l μνδ--∆=⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(5) 66.6312.752210m E ns P τ≈==⨯ 9．若有一四能级调Q 激光器，有严重的瓶颈效应(即在巨脉冲持续的时间内，激光低能级积累的粒子数不能清除)。

已知比值i t /2n n ∆∆=，试求脉冲终了时，激光高能级和低能级的粒子数n 2和n 1(假设Q 开关接通前，低能级是空的)。

解：列出速率方程如下：2211211 (1) (2) (3)t R dN nN dt n dn N n dt dn N n dtτσυσυ⎛⎫∆=- ⎪∆⎝⎭=-∆=∆ 由(2)和(3)式可以得到：2122 (4)t Rd n n NN n dt n συτ∆∆=-∆=-∆ (1)式和(4)式与三能级系统速率方程完全一样，所以，脉冲终了时有ln0f i f t tn n n n n ∆∆-∆+∆=∆根据已知条件i t /2n n ∆∆=可以求得0.407f t n n ∆=∆脉冲终了时12211210.80.420.6i f i ft ii in n n n n n n n n n n n n n n +=∆-=∆∆-∆=≈==∆-≈∆11．一锁模He-Ne 激光器振荡带宽为600MHz ，输出谱线形状近似于高斯函数，试计算其相应的脉冲宽度。

解：输出谱线的形状近似于高斯函数20()()2E a ωωω⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦脉冲的宽度是对时域而言的，现在知道的是频域特性。

根据傅立叶分析，时域特性可以通过傅立叶逆变换由频域特性得到，即[][]20220022001()()2() exp 21 exp ()221 exp ()22i t E t E e d i t d a at iat i t d a at i t iat d a ωωωπωωωωωωωωωωωω+∞-∞+∞-∞=⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦⎧⎫=--++-⎨⎬⎩⎭⎛⎫⎧⎫=---+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎰⎰利用关系式2exp()ax dx +∞-∞-⎰可以得到200()exp()exp()42at E t E i t ω=-时域里脉冲的宽度是()E t 函数的半功率点所对应的时间间隔，当0t =时222*00(0)(0)(0)48E E E E ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭另1t t =时为半功率点，则222011()(0)216E E t E ==又有关系222*111101()()()exp()82at E t E t E t E ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦另上两式左端相等，可以得到2211exp()22at ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦求得1t =脉冲的宽度为12t τ== 下面来求a 的值，在频域中进行求解， 因为20()()2E a ωωω⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦当0ωω=的时候，220()E ω= 令1ωω=时为半功率点，22101()()2E E ωω=又因为222*10111()()()()exp E E E a ωωωωω⎡⎤-==-⎢⎥⎣⎦所以有222100010()1()()exp 2E E a ωωωωωω⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦-=半功率点的带宽为10222()ln 2a ωωνππν-∆==∆=将a 的值代入τ的表达式中去，可以得到锁模脉宽为：2ln 20.74ns τπν==≈∆ 12．一锁模氩离子激光器，腔长1m ，多普勒线宽为6 000MHz ，未锁模时的平均输出功率为3W 。