2010级高等数学(上)A 解答一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。

解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x111lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或：01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。

或：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。

2．函数xx x x x f 323)(23---=的第一类间断点是(空2)。

解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。

121)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim)x (f lim 3x 233x 3x =-+-=---=→→→，x=3是第一类间断点。

∞=---=-→-→x3x 2x 3x lim)x (f lim 231x 1xx=-1是第二类间断点。

∞=---=→→x3x 2x 3x lim)x (f lim 230x 0xx=0是第二类间断点。

3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g +=，则)('x g ＝(空3)。

解：)x (f 1)x (f )x (f )x (f )x (f 2)x (f 121)x (g 22+'='⋅+=' 4．设函数3223++=ax x y 在1=x 处取得极值，则=a (空4)。

解：ax 2x 6y 2+=' 在x=1处取极值，则0y 1x ='=，即6+2a=0，解得3a -=5．设2xe 是函数)(xf 的一个原函数，则不定积分='⎰dx x f )((空5)。

解：C edx )x (f 2x +=⎰求导得2x xe 2)x (f =则C xe 2C )x (f dx )x (f 2x+=+='⎰6．定积分()=-+⎰-11221dx xx (空6)。

解：()⎰--+1122dx x 1x ()⎰--+-+=11222dx x 1x1x 2x ⎰-=11dx =2二、选择题：(每题3分,共15分)(请将正确选项填入下表，否则不给分)1．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处( D )。

A.不连续也不可导B.连续，但不可导C.不连续，但可导D.连续且可导 解：)0(f 0x1sinx lim )x (f lim 2x 0x ===→→ )x (f 在x=0处连续。

0x1sin x lim 0x 0x 1sin x lim 0x )0(f )x (f lim )0(f 0x 20x 0x ==--=--='→→→ f(x)在x=0处可导。

2．设()f x 可导，函数)(sin 2x f y =，则微分dy ＝( )。

A.dx x f x )(sin sin 22' B.)(sin 2sin 2x f x ' C.dx x f x )(sin 2sin 2' D.dx x f )(sin 2' 解：x sin d )x (sin f )x (sin d f d y 222'==)x sin xd sin 2)(x (sin f 2'=)coxd x )(x (sin f x sin 22'=dx )x (sin f x 2sin 2'=3．若函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数是( )。

A ．3 B.2 C.1 D.0 解：函数在(-∞,+∞)上连续，且可导，又因为f(1)=f(2)=f(3)，由罗尔定理知在(1,2),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即)x (f '=0至少有2个根。

但)x (f '是2次多项式，至多有2个根。

所以)x (f '=0有2个根。

4．设函数xex f -=)(，则不定积分='⎰dx x x f )(ln ( )。

A.c x +-1B.c x +-lnC.c x +1D.c x +ln解：⎰⎰'='x ln d )x (ln f dx x )x (ln f C )x (ln f +=C x1C e x ln +=+=- 5．在下列反常积分中收敛的是( )。

A.⎰∞+0ln dx x xB.⎰∞+e dx x x 2)(ln 1 C.⎰∞+edx x x ln 1D.⎰∞+e dx x x 2/1)(ln 1解：A.⎰∞+1dx xxln ⎰∞+=1x ln xd ln []+∞==∞+12x ln 21B.⎰∞+e2dx )x (ln x 1⎰∞+=e 2x ln d )x (ln 11x ln 1e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞+ C.⎰∞+e dx xln x 1⎰∞+=e x ln d x ln 1[]+∞==∞+e x ln ln D.⎰∞+e2/1dx )x (ln x 1⎰∞+=e 2/1x ln d )x (ln 1+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞+e 21)x (ln 2 三、(6分)求极限()xxx e x 1302lim +→解：()x1x 30x ex 2lim +→x1)1e x 2(1ex 21x30x x 3x3)]1ex 2(1[lim ⋅-+⋅-+→-++= .................. 3分由于5x x3lim 2x1e lim 2x 1e x 2lim 0x x 30x x 30x =+=-+=-+→→→ ....................... 2分所以()x1x 30x ex 2lim +→x1)1e x 2(1ex 21x30x x 3x3)]1ex 2(1[lim ⋅-+⋅-+→-++==5e .............. 1分或设()x1x 3ex 2y +=，则 ................................................... 1分()x 3e x 2ln x1y ln +=.....................................................1分 51e x 2e 32lim x )e x 2ln(lim y ln lim x 3x30x x 30x 0x =++=+=→→→ .............................. 2分所以()5yln lim x1x 30x e e ex 2lim 0x ==+→→.......................................... 2分 四、(6分)22202),(cos sin dx y d x y y ty du u x t 求确定函数设=⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ 解：22t sin t 2dt dy ,t sin dt dx -== .......................................... 2分 t 2tsin t sin t 2dtdx dt dydx dy 22-=-== ........................................... 2分 222t sin 2dtdx dx dy dt d dx y d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ................................................. 2分 五、计算下列不定积分：(每题5分，共计10分)1．dx xx⎰++2cos 1cos 12解：dx x cos xcos 121dx 1x cos 21x cos 1dx x 2cos 1x cos 122222⎰⎰⎰+=-++=++ ................... 2分 ⎰+=dx )1x (sec 212 ..................................................... 2分 C )x x (tan 21++=...................................................... 1分 2．⎰+++dx 1x )1x x ln(x 22 解：⎰+++dx 1x )1x x ln(x 22⎰++++=)1x (d 1x 2)1x x ln(222..................... 1分 =1x d )1x x ln(22+++⎰.............................................. 1分 =dx 1x 11x )1x x ln(1x 2222+⋅+-+++⎰............................ 1分=⎰-+++d x )1x x ln(1x 22........................................... 1分 C x )1x x ln(1x 22+-+++=......................................... 1分 六、(12分)求函数f(x)=xe -x的单调区间、凹凸区间、极值及拐点。

解：)2x (e )x (f ),x 1(e )x (f x x-=''-='-- .............................. 2分令0)x (f ='，得x=1； ................................................... 1分1分 令0)x (f =''，得x=2； ................................................... 1分....................................................................... 1分 函数f(x)单调增区间是(-∞,1)； ........................................... 1分 函数f(x)单调减区间是(1,+∞)。