第四章二元关系与函数
一、选择：
1．设集合A={a, b, c}，R={<a, a>,<b, b>,<a, b>,<a, c>,<c, a>}，则R是。

①自反的②反自反的③对称的④反对称的⑤传递的⑥不可传递的
2．集合A={a, b, c, d, e, f, g}，A上的一个划分π={{a, b}, {c, d, e}, {f, g}}，则π所对应的等价关系R应有个有序对。

①15 ②16 ③17 ④18 ⑤14 ⑥49 ⑦27
3．A={2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}，R是A上的整除关系，则A的极大元是；极小元是。

①2和3 ②2, 3和5 ③10和24 ④10, 12, 24
⑤24和6 ⑥只有24 ⑦1 ⑧1, 2, 3, 4, 5
4．A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系。

子集B={2, 4, 6, 8}，则B的最小元是；B的最大元是。

①8 ②1 ③2 ④12 ⑤不存在
5．A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}，R是A上的整除关系，子集B={1, 2, 3, 4}，则B 的上界是；B的下界是。

①1 ②6和8 ③1和2 ④24和36
⑤只有24 ⑥只有36 ⑦10, 24, 36 ⑧8, 24, 36
6．A={1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 24, 36}，R是A上的整除关系。

子集{4, 6, 12}的上确界是；下确界是。

①1 ②2 ③4 ④3 ⑤24 ⑥12 ⑦18 ⑧36
7．设A={a, b, c}，B={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A到B的二元关系，且R1={<a, 1>, <b, 2>, <c, 2>}，R2={<a, 1>, <a, 2>}，R3={<a, 1>, <b, 1>, <c, 1>}，则在这三个二元关系中，可定义为A到B的函数。

①R1和R2②R1③R2④R3⑤R1和R3⑥R2和R3⑦R1, R2和R3
8．设A={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A上的二元关系，且R1={<1, 2>, <1, 3>, <1, 1>}, R2={<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}，R3={<1, 1>, <2, 3>, <3, 2>}，则这三个二元关系中的逆关系
可定义为A到A的函数。

①R1-1, R2-1, R3-1②R1-1③R2-1④R3-1
⑤R1-1和R2-1⑥R1-1和R3-1⑦R2-1和R3-1
9．设A={1, 2, 3}，f, g, h是A到A的函数，其中f(1)=f(2)=f(3)=1；g(1)=1，g(2)=3，g(3)=2；h(1)=3，h(2)=h(3)=1，则是单射函数；是满射函数；
是双射函数。

①f②g③h④f和g⑤f和h⑥g和h
10．设N是自然数集合，f和g是N到N的函数，且f(n)=2n+1，g(n)=n2，则复合函数f◦f(n)= ，g◦g(n)= ，f◦g(n) ，g◦f(n) 。

①n3②n4 ③4n+3 ④4n+2 ⑤2n2+1 ⑥(2n+1)2⑦4n+1
二、综合练习题：
1． 设A ={a , b }, B ={x , y }，求A ⨯B , A ⨯A , B ⨯B , B ⨯A 。

2． 设A ={1, 2}，求P(A ⨯A )和A ⨯P(A )。

3．
设A ={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的二元关系，当x , y ∈A 且x 和y 都是素数时，
<x , y >∈R ，求R 。

4．
设A ={1, 2, 3, 4, 6, 8}，R 是A 上的整除关系，S 是A 上的小于等于关系，求R
∪S 和R ∩S 的表格表示、关系矩阵和关系图。

5．
设A ={a , b , c }，R 是A 上的二元关系，R ={<a , a >, <b , b >, <a , b >, <a , c >, <c , a >}，
问：R 是自反的吗？是反自反的吗？是对称的吗？是反对称的吗？是可传递的吗？ 6．
设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，R 是A 上的模4同余关系，证明R 是等价关
系，写出R 的表格表示和图形表示。

7．
设A ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}， R 是A 上的模3同余关系，写出R 的所有不
同的等价类。

8．
设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 24}，R 是A 上的整除关系，试画出R 的哈
斯图。

9．
设<A , R >是偏序集，A ={a , b , c , d , e }，下图是R 的关系图，试将其改画成哈斯
图。

10． 设<A , ≤>是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24}，≤是整除关系，试写出
A
的极大元、极小元、最大元、最小元。

11． 下图a , b , c 分别是三个偏序关系的哈斯图，试写出各图中的极大元和极小元，并指出哪个图中有最大元或最小元。

(a) (b) (c)
12． 设<A , R >是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 60}，R 是A 上的整除关系，子集B ={2, 4, 6, 12}，试写出B 的极大元、极小元、最大元、最小元。

13． 设<A , R >是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 28}，R 是A 上的整除关系，求子集{1, 2, 7}和子集{3, 4, 5, 7, 14}的上界、下界、上确界和下确界。

14． 偏序集<A , R >的哈斯图如下，求B ={e , f , g }的上界、上确界、下界和下确界。

15． 设A ={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的二元关系，R ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 3>, <3, 4>, <5, 1>, <5, 4>}，求t (R )。

16．
e
f
k。