例4.3：设A， C， B， D为任意集合，判断以下 命题是否为真，并说明理由。
(1) A×B= A×C =>B= C (2) A-(B×C)=( A-B)×(A-C) (3) 存在集合A,使得A A × A.
解： (1) 不一定为真。反例A= φ, B、C为任意不相
等的非空集合。 (2) 不一定为真。反例A= {1}, B={2}, C={3}. (3) 为真。当 A= φ时成立。
A×B＝{<x,y>xA,yB} 由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的，因此A×B的 记法也是确定的，不能写成B×A。
笛卡儿积也可以多个集合合成 A1×A2×…×An。
笛卡儿积的运算性质。
§4.1 集合的笛卡尔积与二元关系
笛卡儿积的性质： 1、对任意集合A，根据定义有
A × φ = φ × A= φ 2、一般来说，笛卡儿积不满足交换律，即
由前面的定义可知：有序对就是有顺序的数组，如 <x,y>，x,y 的位置是确定的，不能随意放置。
注意：有序对<a，b><b,a>，以a,b为元素的集合 {a,b}={b,a}；有序对(a,a)有意义，而集合{a,a}不成 立，因为它只是单元素集合，应记作{a}。
笛卡儿积是一种集合合成的方法，把集合A，B合 成集合A×B，规定
术语“关系”皆指二元关系？
又例：若A={a,b}，B={2,5,8}，则 B×A= {<2,a>,<2,b>,<5,a>,<5,b>, <8,a> <8,b>}
令 R4={<2,a> ,<2,b>}, R5={<5,a>, <8,a> <8,b>},
因为R4 B×A， R5 B×A， 所以R4和 R5均是由B到A的关系 又 B×B={<2,2>,<2,5>,<2,8>,<5,2>,<5,5>, <5,8>,
例如：空间直角坐标系中点的坐标 < 1, -1, 3 > , < 2, 4.5 , 0 >等都是有序3元组。 n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。 形式上也可以把<x>看成有序1元组。
§4.1 集合的笛卡尔积与二元关系
定义4.3 设A，B为集合，用A中元素为第一元素， B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对 组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。 笛卡儿积的符号化表示为：
在这一章我们要研究集合内元素间的关系以及集 合之间元素之间的关系，这就是“关系”与“函数”。 它们是很重要的基本数学概念，在数学领域中均有很大 的作用，并且对研究计算机科学中的许多问题如数据结 构、数据库、情报检索、算法分析、计算理论等都是很 好的数学工具。
关系的引入
例4.0 设一旅馆有n个房间，每个房间可住两个旅 客，所以一共可住2n个旅客，在旅馆内，旅客与房间 有一定关系，用 R 表示“某旅客住在某房间”这种关 系。
说起关系这个词，对我们并不陌生，世界上存在着 各种各样的关系，人与人之间的“同志”关系；“同学” 关系；“朋友”关系；“师生”关系；“上下级”关系； “父子”关系；两个数之间有“大于”关系；“等于” 关系和“小于”关系；两个变量之间有一定的“函数” 关系；计算机内两电路间有导线“连接”关系；程序间 有“调用”关系等等。所以对关系进行深刻的研究，对 数学与计算机科学都有很大的用处。
A × B={<x,y>|x ∈ A ∧ y∈ B} 例如：若A={1,2}, B={a,b,c},则 A×B={<1,a>, <1,b>, <1,c>, <2,a>, <2,b>, <2,c>} B×A={<a,1>, <a,2>, <b,1>, <b,2>, <c,1>, <c,2>} 易知：若|A|=m,(即集合A的元素的个数),|B|=n,则 | ，它表示了功课与其成绩
的一种关系。
由此可见：两个集合之间的二元关系，实际上就是
两个元素之间的某种相关性。
定义4.6 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的 二元关系叫做从A到B的二元关系，特别当A=B时则叫 做A上的二元关系。 例4.7：若A={a,b}，B={2,5,8}，则
<8,2>,<8,5>, <8,8>} 令 R6={<2,2> ,<5,2>, <8,2>},
R7={<8,5>, <5,2> <2,8>, <2,5>} 因为R6 B×B， R7 B×B， 所以R6和 R7均是集合B上的关系。
若集合|A|=n,则集合A上的二元关系有多少个？
答曰： |A|=n，则|A × A|=n2, A × A的任一个子集就是
（ 注{a,a}= {a} {b,b}= {b} {c,c}= {c} ）
三类特殊的关系
➢ 对于任何集合A，空集φ 是A × A的子集，叫做A上 的空关系
➢ 定义EA={<x,y>|x∈A ∧ y∈A}= A×A为全域关系 ➢ 定义IA={<x,x>|x∈A} 为恒等关系 例：若A={1,2}，则
§4.1 集合的笛卡尔积与二元关系
例4.2 证明：(B∩C) ×A = (B×A)∩(C ×A) 对于<x,y>
<x,y> ∈ (B∩C) × A x∈(B ∩C) ∧y ∈ A x∈B ∧x ∈ C ∧ y ∈ A x∈B ∧x ∈C ∧ y ∈ A ∧ y ∈ A (x∈B ∧y ∈A) ∧(x ∈ C ∧ y ∈ A) <x,y>∈ B × A ∧ <x,y>∈ C × A <x,y>∈ (B×A) ∩(C ×A) ∴ (B∩C) × A = (B×A) ∩(C ×A)
2
B = { 1, 2, 3 }
d
则例中关系的每一元素均属于A×B
e
亦即 R 是A×B的子集，并称此关系为从
A 到 B 的关系 R。
f
3
§4.1 集合的笛卡尔积与二元关系
定义4.1由两个元素x,y（允许x=y）按一定顺序排列成 的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x,y>,其中x是 它的第一元素，y是它的第二元素。 有序对<x,y>具有以下性质： (1) 当x≠y时， <x,y> ≠ <y,x> (2) <x,y>=<w,v> x=w ∧ y=v 例4.1：已知 < x+3, y-2 > = < y+7, 3y-x >，求 x 和 y。 解：由有序对相等的充要条件得
Discrete Mathematics
刘师少
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授课: 51学时 教学目标: 知识、能力、素质
第四章 二元关系和函数
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.4 §4.4 §4.4
集合的笛卡尔积与二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数 例题分析
A×B≠B×A （当A ≠ B B ≠ φ、A ≠ φ 时） 3、笛卡儿积不满足结合律，即
(A×B) ×C≠A×(B ×C) （当A≠φ∧B≠φ∧C≠φ时）
4、笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)= (A×B)∪(A × C) (B∪C) × A = (B×A)∪(C ×A) A×(B∩C)= (A×B) ∩(A × C) (B∩C) × A = (B×A) ∩(C ×A)
A×P(A)＝{1,2}×{,{1},}{2},{1,2} ={<1,>,<2,>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}> ,
<1,{1,2}>,<2,{1,2}>}
§4.1 集合的笛卡尔积与二元关系
定义4.5 如果一个集合符合以下条件之一： (1) 集合非空，且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集
={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>, <b,a,a>,<b,a,b>, <b,b,a>, <b,b,b>}
例4.6 设集合 A={a,b},B={1,2,3},C={d}, 求A×B×C，B×A。
解 先计算A×B＝{<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>} A×B×C＝
§4.1 集合的笛卡尔积与二元关系
定义4.4 设A1,A2,…,An,是集合(n≥2),它们的n阶 笛卡儿积记作A1×A2×…×An ，其中
A1×A2×…×An={<x1,x2,…,xn > | x1A1∧x2A2∧…∧xnAn }
当A1=A2=…=An=A时, 将起n阶笛卡儿积记作An
例如，A= {a ,b} ,则 A3=A×A×A={a,b}×{a,b}×{a,b}
x+3 = y+7 y-2 = 3y-x 解得 x = 6, y = 2
§4.1 集合的笛卡尔积与二元关系
定义4.2 一个有序n元组 (n≥3)是一个有序对， 其中第一个元素是一个有序n-1元组， 一个有序n元组记作<x1, x2, …,xn>,即 <x1, x2, …,xn>= < <x1, x2, …,xn-1>, xn>