第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1 不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。
③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。
④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(nH n21n +++= 2、几何平均数： n 1n 21n )a ...a a (G =3、算术平均数： n)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qna1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b ，有2ab b a22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥+ (6)对非负数a,b ，有ab )2b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a bc R +∈，有a b c ++≥a b c ==时成立）(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 222b1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。
均值不等式求最值主要方法：1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.3-3-2 权方和不等式 m n3211m n 321m n 1m n m 31m 3m 21m 2m 11m 1)b ...b b (b )a ...a a a (b a ....b a b a b a ++++++++>+++++++++ a,b,n 为正整数。
m 为正数。
3-4绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |||||||a b a b -≤+3-5 不等式例题解析3-5-1 绝对值不等式1、求2|55|1x x -+<的解2、右边的常数变为代数式(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x形如|()f x|>()g x型不等式f x|<()g x，|()这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()f x<()g xg x<()f x|<()g x⇔－()②|()f x<－()g x或()g xg x⇔()f x>()f x|>()3、两个绝对值不等式解不等式（1）|x－1|<|x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.形如|()g x|型不等式f x|<|()1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()g x|⇔22f x|<|()<⇔[()()][()()]f xg x()()+-<0f xg x f x g x2）所谓零点分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含有1|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相应绝对值为零，称1x，1x，……，n x为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，n x将数轴分2为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
例题．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。
解：|x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x 4、含参数绝对值不等式解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴3mx或x>m3<3-+当0m时，0|6m即3-=3=++x∴x≠-6|>当0m时，x∈Rm即3-<+3<方法归纳：形如|()f x|>a(a R∈)型不等式f x|<a，|()此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①当a>0时，|()f x>af x|<a⇔－a<()f x|>a⇔()f x<a；|()或()f x<－a；②当a=0时，|()f x≠0f x|>a⇔()f x|<a无解，|()③当a<0时，|()f x有意义。
f x|<a无解，|()f x|>a⇔()4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|x－4|+|3－x|<a的解集为空集，求a的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。
若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |<a 有解时a 的取值范围。
令x －4=0得x =4，令3－x =0得x =3① 当x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3<a ，即2x －7<a 解不等式组474272x a x x a≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩，∴a >1 ② 当3<x <4时，原不等式化为4－x +x －3<a 得a >1 ③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x <a 即7－2x <a解不等式377337222x a a x x a≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩，∴a >1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0<a ≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求a 取值范围是a ≤1解法二由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1 ∴当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解 从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
方法总结：1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。
2）()f x a ≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补。
()f x a ≤恒成立()max a f x ⇒≥。
()f x a <有解()min a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a <恒成立()max a f x ⇒>。
()f x a ≥有解()max a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>；这两者互补。
()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤。
()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤。
6、绝对值三参数不等式问题已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤，求证：(1)||1b ≤；(2)若2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1]x ∈-时，求证：|()|2g x ≤。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是()b g x 或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f 、(0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。
因为由已知条件得|(1)|1f -≤，|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤。
［解题］证明：(1)由()()()()11,1[11]2f a b c f a b c b f f =++-=-+⇒=--，从而有11||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1,221||(|(1)||(1)|) 1.2b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤ (2)由()()()()()()111,1[11],[11],(0),22f a b c f a b c b f f a c f f c f =++-=-+⇒=--+=+-= 从而 ()()1[11](0)2a f f f =+-- 将以上三式代入2()(,,)g x bx ax c abc R =++∈，并整理得22222211|()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)|2211|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)|2211|(0)|1||(1)||1||(1)||1|221111|1||1||1|1(1)(1)222222g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤ 收获1） 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.2）本题变形技巧性强，同时运用公式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+及已知条件进行适当的放大。