常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dxdy =-y x y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsinxy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dxdy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2xu ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
1）令xy=u 则dx dy =x 1dx du -2x u (1)原方程可化为：dx dy =xy [1+（xy ）2] (2) 将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x u (1+u 2) u=22+u +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y则与x 轴，y 轴交点分别为：x= x 0 - '0y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -'0y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =4π 。
解：由题意得：y ’=x y y 1dy=x 1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx.α =4π 则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx则：y=kx 2 +c 即为所求。
常微分方程习题 1.xy dxdy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 3 y xy dx dy x y 321++=解：原式可化为：12．2)(1y x dx dy += 解15．18)14()1(22+++++=xy y x dx dy 16．2252622yx xy x y dx dy +-= 解：，则原方程化为，，令u y xxy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32322332322232]2)[(32(2)( 126326322222+-=+-=xu x u x xu x u dx du ，这是齐次方程，令cx x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz dz z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.( (1)261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。
故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。
或）方程的解。
即是（或，得当，，，，所以，则 17. yy y x x xy x dx dy -+++=3232332 解：原方程化为123132;;;;;)123()132(2222222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(123132;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则 方程组，，，）；令，的解为（111101230132+=-=-⎩⎨⎧=-+=++u Y v Z u v u v则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令)2.( (232223322)，，，，，所以，，则有tt dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当是原方程的解或的解。
得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当c x y x y dz z dt t tt 5222222)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得另外19. 已知f(x)⎰≠=xx f x dt x f 0)(,0,1)(的一般表达式试求函数.解：设f(x)=y, 则原方程化为⎰=xydt x f 01)( 两边求导得'12y y y -=20.求具有性质 x(t+s)=)()(1)()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。
解：令t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(x x x -+=)0()0(1)0(2x x x- 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。
所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')()(1[))(1)((lim )()(lim 22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=∆-∆+∆=∆-∆+)))(1)(0(')(2t x x dt t dx += dt x t x t dx )0(')(1)(2=+ 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tg[x’(0)t]习题求下列方程的解1．dx dy=x y sin +解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。