习题2.52．ydy x xdy ydx 2=- 。
解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。
6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。
8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。
10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。
12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。
另外即（所以方程的解为得两边同除以解：即所以方程的解为所以方程有积分因子解：所以方程的解为方程为则解：令也得另外由（所以方程的解为，）则解：令时当时当或求导得两边对则cy e y x e y de y x e d e e y x x Ny M x x N y x x y M dy y x dx y y x xy ce t e t c dt e t y e t x ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dx dy x e dxdyx x x x x x t t tt t t tt dx dy=+=+=+∂∂-∂∂=∂∂++=∂∂=+++++-+=++=+=+-+=++==+====-+⎰⎰323222222232223031,2,20)()32.262)1(2)1(0.25所以方程的解为：得方程两边同乘所以方程有积分因子解：（，所以方程的解为：得由则解：令27.234465dy x y dx x y ++=++ 解： 令23u x y =+，4232325du dy u dx dx u +=+=++，则 72225du u dx u +=+，25722u du dx u +=+，9171=221427dx u -+， 两边积分得 2239ln 2314(3)72x y y x c ++=-+ 即为方程的通解。
另外，7220u +=，即222307x y ++=也是方程的解。
28. 2222()dyxy x y y x dx-=- 解： 两边同除以x ，方程可化为： 222()dy yxy y x dx x=+- 令yu x=，则 22222()duxu u ux u x x dx+=+-即332()dux u u dx =-， 332du x dx u u=- 3111()22(1)2(1)du x dx u u u+-=+-两边积分得 4211x ce u-即 4222x x y cy e -= 为方程的解。
29.xy dy ye dx x+= 解： 令xye u =，则 ln uy x=， 2ln x duudy u dxdx x -=， 那么221ln ln du u uu ux dx x x-+= 即 2duxdx u=两边积分得 212xyx e c -+=即为方程的解。
30. 332252422363dy x xy x dx x y y y -+=-+ 解：方程332252(422)(363)0x x y x d x x y y y d y -+--+=42322363()()()0d x x y dx x dy d y y +-++-=两边积分得 426323x x y y x y c ++--= 即 4623(1)(1)x x c x y ++=+- 为方程的解。
31. 2()()0y xdx ydy x ydx xdy ++-=解： 方程可化为 2320y xdx y dy xydx x dy ++-=两边同除以2y ，得 2()0x ydx xdy xdx ydx y -++=即221()02dx d x y x dy++= 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，则cos 0d dctg ρρρθθ+=即 2sin 0sin d d θρρθ-=两边积分得 1sin c ρθ=-+ 将1sin yρθ=代入得， c y ρρ=-+即2222(1)y c y ρ+=故 222222()(1)x y y c y ++=32. 33101dy xy dx x y++=+解： 方程可化为 3311dy xy dx x y--=+ 两边同加上1，得 223()()1d x y xy x y dx x y+-=+ （*） 再由()d xy xdy ydx =+，可知223()()(1)1d xy dy x y x y x y dx dx x y--=+=+ （**） 将（*）/（**）得22()()()1d x y xy x y d xy x y ++=-即 21du uvdv v =- 整理得21du v dv u v =-两边积分得cu =即 ()c x y +=另外，0x y +=也是方程的解。
33. 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
解： 设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在y 轴上的截距为：dy y xdx - 由题意得 dyy x x dx -= 即11dy y dx x=- 也即 ydx xdy dx -+=-两边同除以2x ，得2ydx xdy dxx x -+=-即 ()ln yd d x x=-即 ln y cx x x =+为方程的解。