习题2.2求下列方程的解。

1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。

2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。

3．dtds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ⎰=-dx x x e y 212(c dx e dx x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xyx x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye y Q y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：x=e e 2331*)22y dy c yy cy y ++⎰ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.,1),()(())01adx P x dx a x P x dx P x dxa a dy ay x a dx x xa x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==⎰⎰==⎰⎰+==⎰为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c当 时，方程01a a a≠a 的通解为y=cx+xln/x/-1当 ，时，方程的通解为x 1 y=cx +- 1-3331()()()310.11(),()1(())(*)dx P x dx x P x dx P x dx dy x y x dxdy y x dx xP x Q x x xe e xe e Q x dx c x x dx c c xc x --+==-+=-=⎰⎰==⎰⎰++++⎰⎰33解：方程的通解为： y=1 =xx =4x 方程的通解为：　y=4()()()223333233232332311.2()2()()2,()2(())((2)p x xdx x p x p x x dy xy x y dxxy x y dxxy x y dxxy x dxy zdz xz x dxP x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-⎰⎰==⎰⎰+-⎰⎰23-2x dy 解：两边除以y dy dy 令方程的通解为：z= =e 222)11)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

22212111()()222ln 112.(ln 2)424ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x xy dy x y y dx x xdy x y dx x xy zdz x z dx x xx P x Q x x xz e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-⎰⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1424ln 1:()1,424x dx c x x c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。

13222(2)2122xydy y x dxdy y x y dx xy x y=--==- 这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以1y， 212dy y y dx x =- 令2y z = 2dz dy y dx dx= 22211dz y z dx x x=-=-P(x)=2xQ(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式22()dx dx x x z e e dx c -⎰⎰=-+⎰ =2x x c +22y x x c =+14 23y dy e x dx x+= 两边同乘以y e 22()3y yydy e xe e dx x += 令y e z = ydz dy e dx dx= 222233dz z xz z z dx x x x+==+ 这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以2z22131dz z dx xz x =+ 令1T z= 21dT dz dx z dx =- 231dT T dx x x-=+ P （x ）=3x - Q(x)=21x - 由一阶线性方程的求解公式3321()dx dx x x T e e dx c x--⎰⎰=+⎰ =321()2x x c --+ =1312x cx ---+ 131()12z x cx ---+= 131()12y e x cx ---+= 2312y y x e ce x -+= 2312y x x e c -+=15 331dy dx xy x y =+33dx yx y x dy =+ 这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以3x 3321dx y y x dy x=+ 令2x z -= 32dz dx x dy dy-=- 3222dz y y dy x=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式223(2)ydy ydy z e y e dy c ---⎰⎰=-+⎰=223(2)y y e y e dy c --+⎰=221y y ce --++ 222(1)1y x y ce --++=22222(1)y y y x e y ce e --++=22222(1)y e x x y cx -+=16 y=x e +0()x y t dt ⎰ ()x dy e y x dx=+ x dy y e dx=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式11()dx dx x y e e e dx c -⎰⎰=+⎰=()x x x e e e dx c -+⎰=()x e x c +0()()xx x x e x c e e x c dx +=++⎰ c=1y=()x e x c +17 设函数ϕ(t)于-∞<t<+∞上连续，'ϕ(0)存在且满足关系式ϕ(t+s)=ϕ(t)ϕ(s)试求此函数。

令t=s=0 得ϕ(0+0)=ϕ(0)ϕ(0) 即ϕ(0)=2(0)ϕ 故(0)0ϕ=或(0)1ϕ=（1） 当(0)0ϕ=时 ()(0)()(0)t t t ϕϕϕϕ=+= 即()0t ϕ=(t ∀∈-∞,+∞)(2) 当(0)1ϕ=时 '0()()()lim t t t t t t ϕϕϕ∆→+∆-=∆=0()()()lim t t t t t ϕϕϕ∆→∆-∆=0()(()1)lim t t t t ϕϕ∆→∆-∆=0(0)(0)()lim t t t t ϕϕϕ∆→∆+-∆='(0)()t ϕϕ 于是'(0)()d t dtϕϕϕ= 变量分离得'(0)d dt ϕϕϕ= 积分 '(0)t ce ϕϕ= 由于(0)1ϕ=，即t=0时1ϕ= 1=0ce ⇒c=1故'(0)()t t e ϕϕ=20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：()()dy P x y Q x dx=+ （2.28） ()dy P x y dx = （2.3）（1） 设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解则 11()()dy P x y Q x dx=+ （1） 22()()dy P x y Q x dx=+ （2） （1）-（2）得()1212()()d y y P x y y dx-=- 即12y y y =-是满足方程（2.3）所以，命题成立。

（2） 由题意得：()()dy x P x y dx= （3） ()()()()d y x P x y x Q x dx=+ （4） 1）先证y cy y =+是（2.28）的一个解。