《复变函数论》试卷一一、填空（30分）1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z2.=+i e π3 ，()ii +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点.4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是()z f '1的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数，则___________________===c b a6.方程0273=+z 的根为 ， ，二、简要回答下列各题（15分）1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简单闭曲线，问积分()()dz z f z f c ⎰'是否等于零，为什么？三、计算下列积分（16分）1. czdz ⎰，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段2. 202cos d πθθ+⎰四、（12分）求函数()11z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.五、（12分）证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解.六、（15分）求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映射成0w =，把2z =映射成1w =.《复变函数》试卷二一、填空题（20分）1. －2是 的一个平方根2. 设21iz --=，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若22z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，()=z e e Re5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成.7. 幂级数∑∞=12n n n z n 的收敛半径=R 8.函数baz +1在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π<<z D Im 0:变换成区域:G二、判断下列命题之真伪（20分）1.()z e z F cos =在全平面上任意阶可微. （ ）2. 若函数()z F 在有界区域D 内有解析，且在其中有无穷多个零点，则()z F 在D内恒为零. （ ）3. 设扩充复平面上的点a 时函数()z F 的可去奇点，则()Re 0z asF z ==.4. 若()W F z =是区域D 内的保形变换，则()W F z =在D 内单叶解析且保角.5. 若函数()z F 在区域D 内解析，则()0cf z dz =⎰，其中c 是D 内的任意一条围线.6. 设()()(),,F z u x y iv x y =+在区域D 内可导，则在D 内，()'y x F z v iv =+7. 设函数()z F 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内()z F 能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑.8. 非常数的整函数必为无界函数.9. 设()f z 在区域D 内解析，则()f z 在D 内连续.10. 若函数()f z 在a 点可导，则()f z 在a 点解析.三、计算下列各题（24分）1. 求极限0cos lim sin z z z z z z→--2. 求21c I dz z=⎰ ，其中是下半圆周，起点11z =-，终点21z =3. 求i 的立方根4. 求22012cos d I p p πθθ=-+⎰()1p >5. 求()11f z z =-在1z =及z =∞的残数6. 求1sin z dz I z z==⎰四、（16分）1. 叙述儒歇定理2. 证明方程()01z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根五、求下列变换（20分）1. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换2. 求出将圆42z i -<变为半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点2i 变到0w =《复变函数》试卷三一、填空题（45分）1. ()1Arg i -＝ ，复数()1cos sin 0z i ϕϕϕπ=-+<≤的模为2. 设()()32256f z z z =+-，则()'f z ＝ 3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝4. z e 是周期函数，其基本周期为5. 如果函数()w f z =在区域D 内满足条件： ，则称()f z 为区域D 内的解析函数6. 设c 是连接a 与b 的直线段，则czdz ⎰＝ 7. 设圆周:3c z =，则3c dz z ⎰＝ 8. 级数21nn z n∞=∑的收敛半径为 ，级数2491z z z ++++⋅⋅⋅的收敛半径为 9. 0z =为函数()sin f z z z =-的 级零点10. 叙述最大模原理：11. 设()()()25121zf z z z =-+，则1z =为()f z 的 级极点，12z =-为()f z 的 级极点12. 设()22f z z z =+，则在点12z i =-+处的旋转角()'arg 12f i -+＝二、判断下列命题之真伪（15分）1. 函数()2f z z =在z 平面上处处不解析2. ()z F z e =是整函数3. 若函数()F z 在区域D 内解析，c 是D 内任一条围线，则()0c F z dz =⎰4. 设函数()F z 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑5. 若函数()f z 在点a 可导，则()f z 在点a 解析三、求解下列各题（20分）1. 求积分()ln 1z r I z dz ==+⎰ ()01r <<2. 求积分()()229I d i ξξξξξ==-+⎰3. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰4. 试将函数()2z f z z =+按1z -的幂展开，并指出其收敛范围5. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换四、证明题（20分）1. ①叙述代数学基本定理②试用复分析方法证明代数学基本定理2. 证明方程()00z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根试卷4一、填空题（50分）1. 已知1z i =-，则arg z ＝ ()arg z ππ-<≤，z ＝ ，z ＝2.3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝4. sin z 的零点为 ，cos z 的零点为5. ()1Ln -＝ ， i i ＝6. 函数()f z ()(),,u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是7. 1z dz z =⎰＝ 21z dz z =⎰＝ 8． 幂级数21nn z n ∞=∑ 的收敛半径为 9． 0z =是函数()sin f z z z =-的 级零点10. 叙述最大模原理：11.函数()()()112f z z z =--在z 平面内有 个奇点，它们是12. 1z =为函数()()()251121z f z z z +=-+的 级极点13. 方程742520z z z -+-=在单位圆内有 个根14. 设()22f z z z =+，则()f z 在12z i =-+处的旋转角为 伸缩率为15. 线性变换()0az b w ad bc cz d+=-≠+的逆变换为 16. 变换3w z =将z 平面上区域:0arg 3D z π<<变换为w 平面上的区域G ：二、判断题（15分） 1. 设()f z 在区域D 内可导，则()f z 在D 内解析2. 互为共轭的两复数具有相同的模3. 复数0z =的充要条件是0z =4. 设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰ 5. sin z 和cos z 都是平面上的有界函数三、计算下列各题（15分）1. 设()()()112f z z z =--，求()f z 在1z <内的泰勒展式2. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰3. 求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换四、证明题（20分）1. 证明函数()2f z z =在z 平面上处处不解析2. 设a 为()f z 的n 级零点，证明：a 必为函数()()'f z f z 的一级极点，并且()()'Re z a f z s n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦《复变函数》试卷五一、填空题（18分）1.2. ()cos 1i +＝ ()1Ln -＝3. 0cos lim sin z z z z z z→--＝ 4. 设()()0n n f z c z r z +∞-∞=≤<<+∞∑，则()Re z s f z =∞＝ 5． 令z x iy =+，2z w e =，则w ＝ Im w ＝6. 线性变换()()0az b W L z ad bc cz d+==-≠+在扩充z 平面上有下列特性，请你完整地予以叙述⑴ 保形性：⑵ 保交比性：⑶ 保圆周性：⑷ 保对称性： 7. 1w z=将z 平面上的直线y x =变换为w 平面上的曲线 二、判断题（10分）下列断语如果正确则打“ √”，否则打“×”1. 如果函数()f z 在点()a ≠∞处解析，则存在0R >，使()f z 在z a R -<内可展成泰勒级数，且展式唯一 （ ）2. 设a 是z 平面上的一点，若a 为函数()f z 的可去奇点，则()Re 0z as f z ==（ ） 3. 如果函数()f z 在某有界区域D 内解析，且在D 内有一列零点，则()f z 在D 内恒为零 （ ） 4. sin z 和cos z 都是z 平面上的有界整函数 （ ）5. 若函数()f z 在区域D 内解析，则()0cf z dz =⎰. 其中c 是内的任意一条围线 （ ）三、解下列各题（24分）1. 求1c dz z⎰的值，其中c 是上半单位圆周，起点为1z =-，终点为1z =2. 求函数()11z f z e-=在1,z =∞的留数3. 计算积分()20sin 01x mx I dx m x +∞=>+⎰4. 将函数()11z f z z -=+在1z =处展开成幂级数，并求其收敛半径四、证明题（24分）1. 试证：在原点解析，且在()11,2,z n n==⋅⋅⋅处取下列值的函数()f z 是不存在的： 111111,,,,,224466⋅⋅⋅2. 试证：73120z z -+=的根全在12z <<内五、（12分）求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换六、（12分）求出将圆42z i -<变成半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点变到2i 变到0w =《复变函数》试卷六一、填空题（30分）1．已知z=1－i ，则arg z= （－π<arg z ≤π），| z |= , z = 2．变换W=Z 3将Z 平面上区域D ：0< arg z <3π变换为W 平面上的区域G ：3．Ln （－1）= , i i = , Arctg(2i) =4．函数f （z ）在区域D 内解析的充要条件是下列条件之一（1）（2）（3）（4）5．幂级数z ＋z 4＋z 9＋…＋2n z ＋…的收敛半径为 6．在原点解析，而在z=1n （n=1，2，…）处取值为 f(1n )=211n+的函数为 7．函数f （z ）=z 2（21z e -）的零点是 ，它是 级的二、判断题（10分）1．设f （z ）在区域D 内可导，则f （z ）在D 内解析 （ ）2．设f （z ）在区域D 内解析，C 是D 内任一闭曲线，则c⎰f （z ）dz=0 （ ）3．Sinz 和cosz 都是z 平面上的有界函数 （ ） 4．f （z ）=u ＋iv 在区域D 内解析，则－u 是v 的共轭调和函数 （ ） 5． f （z ）=| z |2在z 平面上处处不解析 （ ）三、求下列积分（15分） 1．I= zcze dz ⎰，其中c 是连结o 到－1＋i 的直线段 2．I=212ln(1)z z z dz =+⎰3．I=22(8)()z zdz z z i =--⎰四、（12分）已知u=x 3+6x 2y-3xy 2-2y 3,求解析函数f(z)=u+iv 使合条件f （0）＝0五、（12分）将函数f(z)=1az b+(a,b 为复数，ab ≠0)展开为z 的幂级数，并指出展式成立的范围，六、（12分）叙述并证明代数学基本定理七、（9分）设f （z ）=u(x ·y )+iv(x ·y )在区域内解析，试证在D 内，0fz∂=∂《复变函数》试卷七一．填空题（20分）1．已知z ＝1－I ，则argz ＝ (－π<arg z ≤π)，| z |= ，z =2．变换W=Z 3将z 平面上的区域D 变换为W 平面上的区域G ： ，其中D ： 0< arg z <3π 3． sin 2z ＋cos 2z ＝1在直线z ＝x ，(y=0)上成立，则由 定理，sin 2z ＋cos 2z ＝1 在全平面上也成立4．设f(z)=2z 4－z 3＋11z 2－1，f(z)在| z |<2内有 个零点，f(z)在 2≤| z |<3内有 个零点，f(z)在3≤| z |<＋∞内有 零点，f(z)在z ＝1处的旋转角为 ，伸缩率为 。