��� 在 C +1, 0 上，所以
∫ ∫ 1
1
���� C +1,0
1+
z2
dz
=
2i
1 ( ����
−
1
)dz = 1 (2π i) = π ，
C+1,0 z − i z + i
2i
同理如果 C 仅围绕 i 按顺时针转一周，有
∫ ∫ 1
1
���� C +1,0
1+
z2
dz
=
2i
( ���� 1 − 1 )dz = 1 (−2πi) = −π ，
dz = 1 ⋅( z −1)1−n 1− n
3 =
1
2 1− n
21−n −1
=
1 n−
1 ⎛⎜⎝1
−
1 2n−1
⎞ ⎟
。
⎠
所以，
⎧k ⋅(±2π i) + ln 2, n =1
In
=
⎪
⎨ ⎪⎩
n
1 −1
⎛⎜1 ⎝
−
1 2n−1
⎞ ⎟
,
⎠
。
n ≠1
6. 设 C = 0�,1是不过点 ±i 的简单光滑曲线，证明：
���
���
显然 C + 3, 2 构成简单闭曲线，并且1在 C + 3, 2 的内部，所以
∫ ���� 1 dz = 2π i ，
C+3,2 z −1 同理如果 C 仅围绕1按顺时针转一周，有
于是
∫ ���� 1 dz = −2π i ，
C+3,2 z −1
∫ ∫ ∫ ∫ I1 =
1 dz =
����
���
���
���
补充有向直线段 1, 0 ，显然 C +1, 0 构成简单闭曲线，并且 ±i 既不在 C +1, 0 的内部也不在
C
+
��� 1, 0
上，所以
1
1 +z
2
在C
��� +1, 0
所围成的单连通闭区域上解析，由单连通区域上的柯西积分定
理
从而
∫ ���� C +1,0
1 1+ z2
dz
��� C + 3, 2 上，所以
1
��� 在 C + 3, 2 所围成的单连通闭区域上解析，由单连通区域上的柯西积分定
z −1
理
从而
∫ ���� 1 dz = 0 ，
C+3,2 z −1
1
1
1
1
∫ ∫ ∫ ∫ I1 =
dz = C z −1
����
dz + ����
dz =
C+3,2 z −1
2,3 z −1
2,3 z −1
类似的方法，当 C 仅围绕1按逆时针或顺时针转 k 周时，同理可得
其中逆时针时取正号．
∫ ���� 1 dz = k ⋅ (±2π i) ，
C+3,2 z ∫ ∫ I1 =
dz = C z −1
����
dz + ����
dz
C+3,2 z −1
2,3 z − 1
∫ = k ⋅ (±2π i) + ���� 1 dz = k ⋅ (±2π i) + ln 2 .
dt = ln 2 ，
z 1,2
0 1+ t
∫ ∫ ∫ 1
1
���� dz =
−i
dt = 1 1 dt = ln 2 。
z 2i,i
0 (2 − t)i
0 2−t
1
1
1
1
1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ I =
dz = ���� dz +
dz + ���� dz +
dz
Cz
1,2 z
z C2+
z 2i ,i
z C1−
0 ≤ θ1 < θ2 ≤ 2π ）；
解 C 的参数方程为： z = a + R ⋅eiθ （ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ），所以，
∫ ∫ ∫ I1 =
1 dz =
C z−a
θ2 1 i ⋅ R ⋅ eiθ dθ = θ1 R ⋅ eiθ
θ2 θ1
idθ
=
i ⋅ (θ2
−θ1) ，
∫ ∫ ∫ I2 =
( ) ∫ ∫ I =
zdz =
1(−1+ 2t ) 2dt = 2 −t + t2
1 =0。
C
0
0
（2） −1到1的上半单位圆周 z = 1的参数方程为： z = eiθ （ 0 ≤ θ ≤ π ），所以，
∫ ∫ ∫ I =
zdz =
0 e−iθ ieiθ dθ =
0
idθ = −π i 。
C
π
π
（3） −1到1的下半单位圆周 z = 1的参数方程为： z = eiθ （ −π ≤ θ ≤ 0 ），所以，
∫ ∫ ∫ I =
zdz =
0 e−iθ ieiθ dθ =
0
idθ = π i 。
C
−π
−π
2. 计算积分
其中积分路径 C 是：
I = ∫C Im zdz ，
（1）按逆时针从1到1的单位圆周 z = 1；
2,3 z − 1
综上所述，
∫ I1 = C
1 dz = k ⋅ (±2π i) + ln 2 （ k = 0,1, 2,⋯）。
z −1
（2）当
n
≠
1 时，
(z
1 −1)n
在
ℂ
\{1} 内存在单值的原函数
1 1− n
⋅(z
− 1)1−n
，所以，由复积分的
牛顿—莱布尼茨公式，
∫ ( ) In =
C
1 (z −1)n
C
+
��� 3, 2
可分解成两个简单闭曲线
2� MA2
和
3� AN 3
，类似于上面的情
形，有
于是由复积分的曲线可加性
∫2� MA2
1 dz z −1
= 2πi ，
∫3� AN 3
1 dz z −1
=
2π i ，
∫ ∫ ∫ 1
����
dz =
C+3,2 z −1
1
2� MA 2
dz + z −1
3� AN 3
� Am1 A
(1 z −i
−
1 )dz z +i
=
1 2i
(2π i)
=
π
，
于是由复积分的曲线可加性
∫ ∫ ∫ ���� 1 dz =
C+1,0 1 + z2
0� nA0
1 1+ z2
dz
+
� Am1 A
1 1+ z2
dz
=
2π
同理如果 C 仅围绕 i 按顺时针转两周，有
∫ ∫ ∫ ( ) ���� 1 dz =
=
0
，
11
1
1
1
∫ ∫ ∫ ∫ dz =
0 1+ z2
���� C +1,0
1+
z2
dz
+
���� 0,1
1+
z2
dz
=
���� 0,1
1+
z2
dz
���
再注意到直线段 0,1的参数方程为： z = x ，其中 0 ≤ x ≤1 ，可得
∫ ∫ ∫ 1 1
dz = 0 1+ z2
1
����
dz =
0,1 1+ z2
1 0
1 1+ x2
dx
=
arctan
x
1 0
=
π 4
．
情形Ⅱ：积分路线如第 6 题图（2）的（a），此时 C 仅围绕 i 按逆时针转一周，补充有向直线
���
���
���
���
段1, 0 ，显然 C +1, 0 构成简单闭曲线，并且 i 在 C +1, 0 的内部，而 −i 既不在 C +1, 0 的内部也不
∫ I =
1 dz = π + kπ （ k = 0, ±1,±2,⋯）.
C z2 +1
4
证明
因为 1 1+ z2
=
(z
1 + i)(z − i)
=
1 2i
1 ( z−i
−
1 ) ，下面根据从 0 到1的积分路线 C 的不 z+i
同情况分四种情形来证明结论：
情形Ⅰ：积分路线 C 如第 6 题图（1），
����
dz ,
2,3 z −1
���
再注意到直线段 2,3 的参数方程为： z = x ，其中 2 ≤ x ≤ 3 ，可得
∫ ∫ I1 =
1
����
dz =
2,3 z −1
3 2
1 dx x −1
=
ln(x − 1)
3 2
=
ln 2 ．
���
情形Ⅱ：积分路线 C 如第 5 题图（b），此时 C 仅围绕1按逆时针转一周，补充有向直线段 2,3 ，
1 dz + ����
1 dz = ±2π i + ����
1 dz = ±2πi + ln 2 ．