例 设 C 为从点 i 到点 3+4i 的直线段，试求积分 1 C z dz 绝对值的一个上界. 如何计算复积分？
5
复积分存在的必要条件 若函数 f(z)=u(x, y)+iv(x, y) 沿（按段）光滑曲线 z z (t ) x(t ) iy (t ) ( t ) 连续，则 f(z) 沿 C： C 可积，且成立 f ( z)dz udx vdy i vdx udy.
z
z z0 rei
z0 r
x

解：C 的方程： i z z0 re , 0 2 ,
2 i
O
2 dz ire i i 2 in C ( z z0 )n1 0 r n1ei(n1) d 0 r nein d r n 0 e d
（1）
C
—
f ( z )dz f ( z )dz;
C C C
kf ( z)dz k f ( z)dz; （3） [ f ( z ) g ( z )]dz f ( z )dz g ( z )dz;
（2） k C,
C C C
（4） f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz +



变量替换公式

C
f ( z )dz f [ z(t )]z '(t ) dt


例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分：

1i
0
( x 2 iy )dz.
8
例 计算 C zdz , 其中 C 为从原点到点3+4i的直线段.
dz 例 计算 ，其中 C n 1 C (z z ) 0 为以 z0 为中心，r 为半径 的正向圆周，n 为整数.

C
f ( z )dz {u[ x(t ), y (t )]x'(t ) v[ x(t ), y(t )] y'(t )}dt


i {v[ x(t ), y(t )]x'(t ) u[ x(t ), y(t )] y'(t )}dt


(u iv)[ x'(t ) iy'(t )]dt f [ z (t )]z'(t )dt
C C1 C2
f ( z )dz，
Cn
其中 C 是由C1， C2， ， Cn 等光滑曲线段依次相互连接 所组成的按段光滑曲线;
4
（5） （积分估值） f ( z )dz f ( z ) ds Ml (C ),
C C
其中 ds dz (dx )2 (dy ) 2 表示弧长的微分.
C C C
pf：令 k k ik，zk xk iyk
f (
k 1
n
k
)zk [u ( k ,k ) iv( k ,k )](xk iyk )
n k 1 k 1
n
[u ( k ,k )xk v( k ,k )yk ] i [v( k ,k )xk u ( k ,k )yk ]
1 z1
O
2zk
B=z1
x
Sn f ( k ) zk ,
k 1
n
z0=A
其中 zk zk zk 1. 当 n 趋于无穷时，不论对 C 的 分法及对 k 的取法如何，只要 max l ( zk 1 zk ) 趋于零，
若 Sn 有唯一极限，则称此极限值为 f(z) 沿 C 的积 分. 记作
注 事实上， zdz ( x iy )(dx idy )
C C
xdx ydy i ydx xdy
C C
与积分路线 C 无关，只与端点有关.
dz y 例 计算 ，其中 C n 1 C (z z ) 0 为以 z0 为中心，r 为半径 的正向圆周，n 为整数.
M
1
x
9
解：直线段 C 的方程：
x 3t ， y 4t
或
1
0 t 1
0 ≤t ≤1
2 1
z=3t+i4t,
则在 C 上 dz=(3+4i)dt，从而
1 2 zdz (3 t i 4 t )(3 4 i ) dt (3 4 i ) tdt (3 4 i ) . C 0 0 2
第三章 复变函数的积分
§1 复变函数积分的概念 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理的推广
———复合闭路定理
§4 §5 §6 §7
原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
§1 复变函数积分的概念
1.1 积分的定义 •有向曲线
A
C
B
C
设函数 w=f(z) 定义在区域 D 内，C 为 D 内起点 为 A，终点为 B 的一条光滑的有向曲线，在 C 上从 A 到 B 依次取分点： zk k A z0 , z1 , , zn1 , zn B y 在弧 zk 1 zk (k 1,2, , n) 上 任意取一点 k , 作和式
k 1
6
n
两边关于n取极限，即得原式成立。
注 形式上看， C f ( z )dz C (u iv )(dx idy )
udx vdy i vdx udy.
C C
例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分：

1i
0
( x 2 iy )dz.
7
由线积分的变量替换公式知，
y
z
z z0 rei
z0 r
O y
i
P
x
例 计算 zdz 的值，其中 C 为
C
1）沿直线段 OP : z (1 i )t , 0 t 1; 2）沿折线段 OMP，其中OM :
z t , 0 t 1; MP : z 1 it , 0 t 1. O
1 k n

C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
注 若C为闭曲线，则沿C 的积分记作 C f ( z )dz; 若 C 是实轴上的闭区间，而 f(z) 是一个一元实函 数，则复积分的定义和一元实函数定积分的定义 是一致的.
3
复积分的基本性质