求数列通项公式的常用方法一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
练习. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
二、累乘法1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。
2．解题步骤：若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯练习. 已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式答案：=n a )1()!1(1+⋅-a n -1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为nn nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{na }为等差数列;（2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.解题步骤：设)(1λλ+=++n n a c a ，得λ)1(1-+=+c ca a n n ，与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(，所以)0(,1≠-=c cd λ，所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 例3 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
解：121(2),n n a a n -=+≥ 112(1)n n a a -∴+=+又{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列 12n n a ∴+=，即21n n a =-练习．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a答案：1)21(1+=-n n a2．形如：nn n q a p a +⋅=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)①若p=1时，即：nn n q a a +=+1，累加即可.②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1+n p .目的是把所求数列构造成等差数列即：nnnnnqppqapa)(111⋅+=++,令nnn pab=，则nnn qppbb)(11⋅=-+，然后累加求通项.ii. 两边同除以1+nq，目的是把所求数列构造成等差数列。
即：qqaqpqannnn111+⋅=++,令nnn qab=，则可化为qbqpbnn11+⋅=+，然后转化为待定系数法第一种情况来解。
iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11nnnnpapqa⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求p≠q，否则待定系数法会失效。
例4 已知数列{}na满足1112431nn na a a-+=+⋅=，，求数列{}na的通项公式。
解法一（待定系数法）：设11123(3n nn na aλλλ-++=+⋅)，比较系数得124,2λλ=-=，则数列{}143nna--⋅是首项为111435a--⋅=-，公比为2的等比数列，所以114352n nna---⋅=-⋅，即114352n nna--=⋅-⋅解法二（两边同除以1+nq）：两边同时除以13n+得：112243333n nn na a++=⋅+，下面解法略解法三（两边同除以1+np）：两边同时除以12+n得：nnnnnaa)23(342211⋅+=++，下面解法略3．形如bknpaann++=+1(其中k,b是常数，且0≠k)待定系数法解题步骤：通过凑配可转化为))1(()(1ynxapyxnann+-+=++-；比较系数求x、y；解得数列)(yxnan++的通项公式；得数列{}na的通项公式。
例5 . 在数列{}n a 中，362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）解：原递推式可化为yn x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21比较系数可得：x=-6，y=9,上式即为12-=n n b b所以{}n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ，公比为21。
1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996⋅=+- ， 故96)21(9-+⋅=n a n n 。
练习 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项na .（逐项相减法）解： ，,231n a a n n +=+ ① ∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，两式相减得2)(311+-=--+n n n n a a a a .令nn n a a b -=+1，则231+=-n n b b知2351+⋅=-n n b 即13511-⋅=--+n n n a a ②再由累加法可得213251--⋅=-n a n n . 亦可联立 ① ②解出213251--⋅=-n a n n .4．形如cn b n a pa a n n +⋅+⋅+=+21 (其中a,b,c 是常数，且0≠a )基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例6 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++比较系数得3,10,18x y z ===，所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠，得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。
5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列{}1n n a a λ++为等比数列。
例7 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。
解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则21123(2)n n n n a a a a +++-=-，则{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列11243n n n a a -+∴-=⋅，所以114352n n n a --=⋅-⋅练习.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .答案：nn a 311-=.四、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数()f x 的定义域为D ，若存在0()f x x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。
分析：由()f x x =求出不动点0x ，在递推公式两边同时减去0x ，再变形求解。
类型一：形如 1 n n a qa d +=+例8 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。