几种常见的数列的通项公式的求法一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n na（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。

二、公式法例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ，解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。

例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。

解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ，∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解 易知,121-=--n a a n n ∵,312=-a a ,523=-a a ,734=-a a ……,121-=--n a a n n各式相加得)12(7531-++++=-n a a n ∴)(52N n n a n ∈+=点评：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++ 能进行求和，则宜采用此方法求解。

例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1，所以11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，将以上各式相加得：1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以 n a =32)1(+-n n四、叠乘法例7：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n n a a n n ，1a an =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 11433221=-⋅⋅ 所以n a n 1= 例8. 已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

解析：首先由n n a n n S )12(-=易求的递推公式：1232,)32()12(11+-=∴-=+--n n a a a n a n n n n n 5112521221=--=∴--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得：.)12(12(1)12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1-+=∴-+=⋅--+⋅---=n n a n n n n n n n n a a n n点评：一般地，对于型如1+n a =f(n)·n a 类的通项公式，当)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、S n 法利用1--=n n nS S a (n ≥2)例9：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）13-+=n n S n。

（2）12-=n s n解： （1）11111-+==S a n a =1--n n S S =[]1)1()1()1(33--+---+n n n n =3232+-n n 此时，112S a ==。

∴n a =3232+-n n 为所求数列的通项公式。

（2）011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。

∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n 点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

六、待定系数法：例10：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解：设1)1(-+-+=n n bq d n a c 132211121237242-+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=+∴n n n c a b d q bq d a bq d a bq d a b a 例11. 已知数列{}n c 中，b b c +=11，bbc b c n n ++⋅=-11， 其中b 是与n 无关的常数，且1±≠b 。

求出用n 和b 表示的a n 的关系式。

解析：递推公式一定可表示为)(1λλ-=--n n c b c 的形式。

由待定系数法知：bbb ++=1λλ)1(1,1,12122bbc b b b c b b b n n --=--∴-=∴≠-λ 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21b b c n 是首项为112221-=--b b b b c ，公比为b 的等比数列，故111121211222--=∴-=-=--++-b b b c b b b b b b b c n n n n n点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n+=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{n a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s nn 。

七、辅助数列法例12：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。

解：∵121+=+n n a a ∴)1(211+=++n n a a 令1+=n n a b 则辅助数列}{n b 是公比为2的等比数列∴11-=n nq b b 即n n n q a a 2)1(111=+=+- ∴12-=n n a例13：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a 。

解析：在n n n a a a 313212+=++两边减去1+n a ，得)(31112n n n n a a a a --=-+++ ∴ {}n n a a -+1是以112=-a a 为首项，以31-为公比的等比数列，∴11)31(-+-=-n n n a a ，由累加法得n a =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+⋅⋅⋅+-+---- =+--2)31(n +--3)31(n …11)31(++-=311)31(11+---n =1])31(1[431+---n = 1)31(4347---n例14： 已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。

解：∵11+=+n n n a a a ∴ 11111+=+=+nn n n a a a a ， 设n n a b 1=，则11+=+n n b b故｛n b ｝是以1111==a b 为首项，1为公差的等差数列 ∴n n b n =-+=)1(1 ∴n b a n n 11==点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

第12讲 数列的求和方法（一）知识归纳： 1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法.（二）学习要：1．“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列“)1(3221+++⨯+⨯=n n S n ”的求和；“裂项”的典型例子是数列“)1(1321211+++⨯+⨯=n n S n ”的求和；“并项”的典型例子是数列“n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 ”的求和.2．“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求解决下述数列的求和问题：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法.[例1]解答下述问题：（I ）已知数列}{n a 的通项公式)12)(12()2(2+-=n n n a n ，求它的前n 项和.（II ）已知数列}{n a 的通项公式,)]1([122++=n n n a n求它的前n 项和.（III ）求和：;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n（Ⅳ）已知数列.}{,)109()1(n n n nS n a n a 项和的前求⨯+=（II ）设函数),2)(1(,1:}{,332)(11≥==+=-n b f b b b x x x f n n n 作数列 求和：.)1(11433221+-⋅-+-+-=n n n nb b b b b b b b W[例3]已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2)21(+=n nn a S S 满足， （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式；（II ）求证.211121<+++nS S S。