Y (z) n1zn1Q(z) 1Q(z) 0Q(z)
设 X1(z) Q(z)
X 2 (z) zQ(z) zX1(z) X n (z) z n Q 1 (z) zX n1(z)
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6
则
znQ(z) a0 X1(z) a1X 2 (z) an1X n (z) U (z)
Y (z) 0 X1(z) 1X 2 (z) n1X n (z) 利用z反变换关系
Z [1 X i (z)] xi (k ) Z [1 zX i (z)] xi (k 1)
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7
动态方程为
x1(k 1) x2 (k) x2 (k 1) x3 (k) xn1(k 1) xn (k ) xn (k 1) a0 x1(k) a1x2 (k) a x n1 n (k) u(k)
y(k) 0 1 n1x(k) bnu(k)
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9
简记为
x(k 1) Gx(k) hu(k) y(k) cx(k) du(k)
线性定常多输入—多输出离散系统的动态方程为
x(k 1) Gx(k) Hu(k) y(k) Cx(k) Du(k)
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（2）定常连续动态方程的离散化
y(k ) 0 x1(k ) 1x2 (k ) n1xn (k )
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8
向量—矩阵形式为
x1(k 1) 0 1 0 0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
0
x2
(k
)
0
u(k)
xn1
(k
1)
0
0
0
1
xn1
(k
)
0
xn (k 1) - a0 - a1 - a2 - an-1xn (k) 1
由于此式避免了矩阵求逆，在判断系统的可 控性时比较方便
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18
（2.2）对于多输入系统，设系统的状态方程 为
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
1 线性定常离散系统的可控性 （1）定义：n阶线性定常离散系统
x(k 1) Gx(k) Hu(k) 若存在控制序列 u(k),u(k 1)u(l 1能) 将第 k步其是是l中能的 能控某 控是的的个大，。状于那若态l 么系在的此统第有系在限l步k统第数到是，达步能那零上控么状的的就态k所，称，有称此及状为状x态(能态)都=控0, 系统
记 G(t) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bd
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12
故离散化状态方程为
x(k 1) (T )x(k) G(T )u(k)
式中 (T ) 与连续系统状态转移矩阵(T ) 的
关系为
(T ) (t) tT
离散化系统的输出方程仍为
y(k) Cx(k) Du(k)
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二 线性定常离散事件系统的可控性与可观性
bn
zn
n1z n1 1z 0
an1z n1 a1z
a0
bn
N(z) D(z)
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4
在N(z)/D(z)的串联分解中引入中间变量Q(z)
u
1
zn
a z n1 n1
a1z
a0
z
n1zn1 1z 0
y
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5
可以得到
znQ(z) an1zn1Q(z) a1zQ(z) a0Q(z) U (z)
b uk n bn 1uk n 1 b0uk k 0, 1, 2, n
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3
考虑初始条件为零时的z变换关系有
Z[ y(k)] Y (z)
Z[ y(k i)] zY (z)
对式两端取z变换加以整理，可得G(z)来自Y (z) U (z)
bnz n bn zn an
1z n1 b1z b0 1z n1 a1z a0
一 线性离散定常系统状态方程的建立 二 线性离散定常系统能控能观性
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1
一 线性离散系统状态表达式的建立及 方程
1 离散系统的特点 系统中的各个变量被处理成为只在 离散时刻取值，其状态空间描述只 反映离散时刻的变量组间的因果关 系和转换关系，因而这类系统通常 称为离散时间系统，简称为离散系 统。
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（2）可控性判据 （2.1）设单输入线性定常系统的状态方程为
x(k 1) Gx(k) hu(k)
状态方程的解为
x(k
)
G
k
x(0)
G k 1
k
1i hu (i )
i0
根据可控性定义，假定k=n时，x(n)=0,将式 两端左乘G-n则有
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x(0) n1G1ihu(i) i0 [G1hu(0) G2hu(1) Gnhu(n 1)]
rank S’1=n 或矩阵S’1的行列式不为零
detS’1≠0 或矩阵S’1是非奇异的
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由于满秩矩阵与另一满秩矩阵Gn相乘其秩不 变， 故
rankS1'
rank[G
n
S' 1
]
rank G h n1 Gh h n
交换矩阵的列，且记为S1其秩也不变，故有
rankS1 rankh Gh G h n1 n
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2
2 线性离散系统的动态方程可以利用系统的 差分方程建立，也可以利用线性连续动态 方程的离散化得到
（1）由差分方程建立动态方程 在经典控制理论中离散时间系统通常用差 分方程或脉冲传递函数来描述。单输入— 单输出线性定常差分方程的一般形式为
yk n an 1 yk n 1 a yk 1 a0 yk 1
u(0)
G h 1
G2h
Gnh
u(1)
u(n 1)
记
S' 1
G h 1
G2h Gnh
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称S’1为n×n可控矩阵。由线性方程组解的 存在性定理可知，当矩阵s’1的秩与增广矩 阵[S’|x(0)]的秩相等时，方程组有唯一解， 否则无解。在x(0)为任意的情况下，使方程 组有解的充分必要条件是矩阵S’1满秩，即
已知定常连续系统动态方程
•
x Ax Bu
在x(t0)及u(t)作用下的解为
x(t
)
(t
t0
)
x(t0
)
tt 0
(t
)
Bu(
)d
令
t0 kT
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则
x(t0) x(kT ) x(k)
在区间 t [k,k 1) 内，u(t) u(k) 常数，于 是其解化为
x(k 1) [(k 1)T kT ]x(k) k(Tk1)T [(k 1)T ]Bd • u(k)