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沿y轴的投影图示
F(u,v) f(x,y)
g y (x ) y x
F(u,0)
v
u
(a) 二维函数f(x,y)在x轴上投影
(b) f(x,y)傅立叶变换F(u,v)在u 轴上切片
沿y轴的的投影示意图
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假设函数f(x,y)投影到一条经过旋转的直线上t1，t是一条与t1平行经过原点的直 线，与t垂直经过原点的直线为s，该直线s与x轴的夹角为θ，直线t1离开原点的
l
, xN ) 在第N -1维上的映射称为函数 f 在第N -1
f ( x, y )dy （7.1） f ( x, y )dx （7.2）
函数 f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影
设 f(x,y) 的傅立叶变换为F(u,v)，可得：
g x ( x) f ( x, y )dx
超声成像、微波成像、激光共焦成像、……
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射线投影成像的基本原理：
人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减， 人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。
散射线
入射线
散射线
图7.1
组织对射线的吸收
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投射断层成像：
射线穿过物体，在检测器上得到的遭受衰减的值＝＝射线的投影， 根据投影可以了解物体对射线的吸收程度。
同密度分布时的情况， 每块上的数字表示每块的密度或
入射线 少透射 高密度体 多透射 低密度体 入射线 2 入射线 1 4 1 2 2 6
衰减，总的衰减是叠加的，
一条射线束通过均匀密度物质的 厚块，
入射线
另一射线通过不等密度的厚块组
合，但检测器的记录相同， 因此，投影重建时需要一系列投 影才能重建二维图像。
l


f ( x, y)




F u, v exp j 2 ux vy dudv （7.3）
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把式（7.3）代入到式（7.1）可得：
g y x F u , v exp j 2 ux vy dudv dy
获得另一组投影数据；
重复以上过程，便得到很多组投 影数据；
对这些数据进行处理形成三维图像。
图7.6
头颅CT扫描成像示意图
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7.2 投影定理
一个N维函数 f ( x1 , x2 , x3 , 维的投影。 二维：函数 f(x,y)在x轴上（沿y方向）的投影
g y ( x) f ( x, y )dy






F u , v exp j 2 ux dudv exp j 2 vy dy



F u , v exp j 2 ux v dudv
（7.4）
F u , v v dv exp j 2 ux du
1
第7章 图像重建
7.1 7.2
7.3
7.4 7.5 7.6 7.7 卷积逆投影重建
2
图像重建：
由一系列沿直线投影图来重建二维图像， 由一系列二维图像重建三维物体。
成像方式：
透射断层成像 发射断层成像
反射断层成像
射线种类：
X射线成像、核磁共振成像、正电子发射成像、
Computed Tomography(CT)： 获1979年诺贝尔奖（Nobel Price） 布尔赫、珀塞尔，获1952年 诺贝尔奖，发现了核磁共振 现象 劳特布尔（美）、P·曼斯菲 尔德（英）获2003年年诺贝 尔奖，核磁共振的研究
（英）G.N.Hounsfield
（美）Allan M. Cormack
PET成像系统示意图
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7.1 计算机断层扫描技术
计算机断层扫描技术又称为计算机层析或CT（Computed Tomography) 利用数字图像处理技术来获取三维图像。 CT机通常包括X射线管、X射线检测器、扫描机架、病人床、用来描成像的示意图
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医学影像领域：



F u , 0 exp j 2 ux du
可知 gy(x,y)是F(u,0)的傅氏反变换， 或gy(x,) 的傅氏变换G(u)与F(u,0)相同。
结论，函数 f(x,y)在x轴上投影gy(x,y)的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换F(u,v) 在(u,v)平面上沿u轴平面上的切片F(u,0)。
发射断层成像：
发射源在物体内部，将具有放射性的离子（放射元素）注入物体内部， 在物体外部检测其经过物体吸收之后放射量。
反射断层成像：
将入射信号（通常是单色平面波）入射到物体上， 通过检测经物体散射（反射）后的信号强度来重建。
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透射投影成像，
图7.2表示等强度的射线透过不
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CT实例：
扫描系统的X射线源和检测器，始终保持严格的相对静止； 射线管发出的是直线形波束，扫描机构围绕人体作旋转加平移运动；
以检测器的位置为自变量，就构成如图7.5(b)的电流—位置函数曲线。
图7.5
CT一次平移扫描所获得的输出信号
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第一次直线平移扫描完毕后， 扫描系统旋转一个小角度， 再作第二次直线式平移扫描，
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图7.2
等强度射线穿透不同组织的情况
6
发射投影成像
如，正电子发射成像（PET：Positron
检测器
光子 正电子 光子 负电子
检测器
Emission Tomography）
采用在衰减时放出正电子的放射性离子， 放出的正电子很快与负电子相撞湮灭而产 生一对相背运动的光子。 相对放置的两个检测器接收到这两个光子 就可以确定一条射线， 检测器围绕物体呈环形分布， 相对的两个检测器构成一组检测器对， 检测由一对正负电子产生的光子。
距离为s1，如图7.9所示。
以s和 t 可用θ为极坐标：
s x cos y sin t x sin y cos