. 一、题目如图1所示，一个厚度均匀的三角形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。

已知：P=150N/m ，E=200GPa ，=0.25，t=0.1m ，忽略自重。

试计算薄板的位移及应力分布。

要求： 1. 编写有限元计算机程序，计算节点位移及单元应力。

（划分三角形单元，单元数不得少于30个）；2. 采用有限元软件分析该问题（有限元软件网格与程序设计网格必须一致），详细给出有限元软件每一步的操作过程，并将结果与程序计算结果进行对比（任选取三个点，对比位移值）；3. 提交程序编写过程的详细报告及计算机程序；4. 所有同学参加答辩，并演示有限元计算程序。

有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下：1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。

2）单元分析，建立单元刚度矩阵。

3）整体分析，建立总刚矩阵。

4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵5）边界条件处理。

6）解方程，求出节点位移。

7）求出各单元的单元应力。

8）计算结果整理。

一、程序设计网格划分如图，将薄板如图划分为6行，并建立坐标系，则刚度矩阵的集成建立与总刚度矩阵等维数的空矩阵，已变单元刚度矩阵的集成。

由单元分析已知节点、单元的排布规律，继而通过循环计算求得每个单元对应的节点序号。

通过循环逐个计算：（1）每个单元对应2种单元刚度矩阵中的哪一种；（2）该单元对应总刚度矩阵的那几行哪几列（3）将该单元的单元刚度矩阵加入总刚度矩阵的对应行列循环又分为3层循环：（1）最外层：逐行计算（2）中间层：该行逐个计算（3）最里层：区分为第 奇/偶 数个计算单元刚度的集成：[][][][][][]''''''215656665656266256561661e Z e e e Z e Z e e e e k k k K k k k k k k +⋯++=⇓=⇒==⇒==⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯边界约束的处理：划0置1法X Y P X Y P适用：这种方法适用于边界节点位移分量为已知(含为0)的各种约束。

做法：（1）将总刚矩阵〔K〕中相应于已知位移行主对角线元素置1，其他元素改为零；同时将载荷列阵｛R｝中相应元素用已知位移置换。

◎这样，由该方程求得的此位移值一定等于已知量。

（2）将〔K〕中已知位移相应的列的非主对角成元素也置0，以保持〔K〕的对称性。

◎当然，在已知位移分量不为零的情况下，这样做就改变了方程左端的数值，为保证方程成立，须在方程右端减去已知位移对该方程的贡献——已知位移和相应总刚元素的乘积。

◎若约束为零位移约束时，此步则可省去。

特点：（1）经以上处理同样可以消除刚性位移(约束足够的前提下)，去掉未知约束反力。

（2）但这种方法不改变方程阶数，利于存贮。

（3）不过，若是要求出约束反力，仍要重新计算各个划去的总刚元素。

程序如下：变量说明NNODE 单元节点数NPION 总结点数NELEM 单元数NVFIX 受约束边界点数FIXED 约束信息数组NFORCE 节点力数FORCE 节点力数组COORD 结构节点坐标数组LNODS 单元定义数组YOUNG 弹性模量POISS 泊松比THICK 厚度B 单元应变矩阵(3*6)D 单元弹性矩阵(3*3)S 单元应力矩阵(3*6)A 单元面积ESTIF 单元刚度矩阵ASTIF 总体刚度矩阵ASLOD 总体荷载向量ASDISP 节点位移向量ELEDISP 单元节点位移向量STRESS 单元应力%********************************************************** %初始化clearformat short e %设定输出类型clear %清除内存变量NELEM=36 %单元个数（单元编码总数）NPION=28 %结点个数（结点编码总数）NVFIX=2 %受约束边界点数NFORCE=1 %结点荷载个数YOUNG=2e11 %弹性模量POISS=0.25 %泊松比THICK=0.1 %厚度LNODS=[1 2 3;2 4 5;2 5 3;3 5 6;4 7 8;4 8 5;5 8 9;5 9 6;6 9 10;7 11 12;7 12 8;8 12 13;8 13 9;9 13 14;9 14 10;10 14 15;11 16 17;11 17 12; 12 17 18; 12 18 13;13 18 19; 13 19 14;14 19 20;14 20 15;15 20 21;16 22 23;16 23 17;17 23 24;17 24 18;18 24 25;18 25 19;25 19 26;19 26 20;20 26 27;20 27 21;21 27 28] %单元定义数组（单元结点号）%相应为单元结点号（编码）、按逆时针顺序输入COORD=[0 0;-0.75 1.5;0.75 1.5;-1.5 3;0 3;1.5 3;-2.25 4.5;-0.75 4.5;0.75 4.5;2.25 4.5;-3 6;-1.5 6;0 6;1.5 6;3 6;-3.75 7.5;-2.25 7.5; -0.75 7.5;0.75 7.5;2.25 7.5;3.75 7.5;-4.5 9;-3 9;-1.5 9;0 9;1.5 9;3 9;4.5 9] %结点坐标数组%坐标：x，y 坐标（共NPOIN 组）FORCE=[1 0 -15] %结点力数组（受力结点编号, x 方向,y 方向）FIXED=[22 1 1;28 1 1] %约束信息（约束点，x 约束，y 约束）%有约束为1，无约束为0%********************************************************** %生成单元刚度矩阵并组成总体刚度矩阵ASTIF=zeros(2*NPION,2*NPION); %生成特定大小总体刚度矩阵并置0%********************************************************** for i=1:NELEM%生成弹性矩阵 DD= [1 POISS 0;POISS 1 0;0 0 (1-POISS)/2]*YOUNG/(1-POISS^2)%********************************************************** %计算当前单元的面积A=-det([1 COORD(LNODS(i,1),1) COORD(LNODS(i,1),2);1 COORD(LNODS(i,2),1) COORD(LNODS(i,2),2);1 COORD(LNODS(i,3),1) COORD(LNODS(i,3),2)])/2%********************************************************** %生成应变矩阵 Bfor j=0:2b(j+1)=COORD(LNODS(i,(rem((j+1),3))+1),2)-COORD(LNODS(i,(re m((j+2),3))+1),2);c(j+1)=-COORD(LNODS(i,(rem((j+1),3))+1),1)+COORD(LNODS(i,(r em((j+2),3))+1),1);endB=[b(1) 0 b(2) 0 b(3) 0;0 c(1) 0 c(2) 0 c(3);c(1) b(1) c(2) b(2) c(3) b(3)]/(2*A);B1( :,:,i)=B;%********************************************************** %求应力矩阵S=D*BS=D*B;ESTIF=B'*S*THICK*A; %求解单元刚度矩阵a=LNODS(i,:); %临时向量,用来记录当前单元的节点编号for j=1:3for k=1:3ASTIF((a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)=ASTIF((a(j)*2-1) :a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)+ESTIF(j*2-1:j*2,k*2-1:k*2);%根据节点编号对应关系将单元刚度分块叠加到总刚%度矩阵中endendend%********************************************************** %将约束信息加入总体刚度矩阵（对角元素改一法）for i=1:NVFIXif FIXED(i,2)==1ASTIF(:,(FIXED(i,1)*2-1))=0; %一列为零ASTIF((FIXED(i,1)*2-1),:)=0; %一行为零ASTIF((FIXED(i,1)*2-1),(FIXED(i,1)*2-1))=1; %对角元素为 1end%********************************************************** %生成单元刚度矩阵并组成总体刚度矩阵%**********************************************************if FIXED(i,3)==1ASTIF( :,FIXED(i,1)*2)=0; %一列为零ASTIF(FIXED(i,1)*2,:)=0; %一行为零ASTIF(FIXED(i,1)*2 ,FIXED(i,1)*2)=1; %对角元素为 1endend%********************************************************** %生成荷载向量ASLOD(1:2*NPION)=0; %总体荷载向量置零for i=1:NFORCEASLOD((FORCE(i,1)*2-1):FORCE(i,1)*2)=FORCE(i,2:3);end%********************************************************** %求解内力ASDISP=ASTIF\ASLOD' %计算节点位移向量ELEDISP(1:6)=0; %当前单元节点位移向量for i=1:NELEMfor j=1:3ELEDISP(j*2-1:j*2)=ASDISP(LNODS(i,j)*2-1:LNODS(i,j)*2);%取出当前单元的节点位移向量endiSTRESS=D*B1(:, :, i)*ELEDISP' %求内力end（程序计算结果和有限元软件得出的结果稍有偏差，可能是程序某些地方数据输入时出了问题，还在寻找具体原因）二、有限元软件分析设置材料参数建模网格划分。