１全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的实数解的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解：选（A ）。

当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20解：选（B ）。

只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解：选（D ）。

设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，20ct at b ++=三式相加得：2()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以ab c ca b bc a 222++＝333a b c abc ++＝33abcabc= 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ）（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心解：选（B ）。

如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。

分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。

又因为∠KHD ＝∠ACD ，所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。

5．方程256323+-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多解：选（A ）。

原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。

QPCOABβαAGBCEF二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，点A ，C 都在函数)0(33>=x xy 的图像上，点B ，D 都在x 轴上， 且使得△OAB ， △BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ． 解：填(26,0)D 。

设OB ＝2a ，BD ＝2b ，由△OAB ，△BCD 都是等边三角形，得(3),(23)A a a C a b b +，把点A ，C 坐标代入33y =3,63a b == 即(22,0)(26,0)D a b D +=7．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ． 解：填4。

连结OP ，OB ，则所求面积之差的绝对值＝222OPQ OBQ OPB S S S ∆∆∆+=＝2×2×2÷2＝4。

8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =︒90·n ，则=n ． 解：填6。

如图：∠A+∠E+∠F ＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G ＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠D ＝540°＝690⨯︒9．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数3)3(2+-+=x a x y的图像与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ． 解：填11,3232a a -≤<-=-或（1）若图像的顶点在AB 上，则有23122(3)120,a a -⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=--=⎩解得：323a =-（2）若图像的顶点在x 轴下方，则有(1)1330(2)42(3)30,f a f a =+-+≤⎧⎨=+-+>⎩或(1)1330(2)42(3)30,f a f a =+-+≥⎧⎨=+-+<⎩分别解之，得11,2a -≤<- 综上，得：11,3232a a -≤<-=-或10．已知对于任意正整数n ，都有321n a a a n =+⋯++，则=-+⋯+-+-11111110032a a a ． 解：填33100。

由321n a a a n =+⋯++及3121(1)n a a a n -++⋯+=-得33(1)3(1)1n a n n n n =--=-+ 所以11111()13(1)31n a n n n n ==----，于是1001002211111133()(1)1313100100n n n a n n ===-=-=--∑∑ 题图第6题图第7题图第8３解：假设方程0)(22=++-b a abx x 有两个整数解为12,x x ， 由1121220,()0x x ab x x a b +=>=+> 知120,0x x >>， 下证（1）12x x ≠事实上，若12x x =，则2()2()0ab a b ∆=-+=，2()2()ab a b =+，即2()112()2(11)4a b aba b ab +==+≤+=，因a ，b 为正整数,所以ab ＝1，2，3或4，易知不存在a ，b 的值满足2()2()ab a b =+ （2）不妨设12x x < 则12122112x x a b x x ab a b+==+≤+，即121222x x x x x ≤+<，所以有12x <，因1x 是正整数，故11x =把11x =代入原方程得，121()0ab a b -++= 即2()20ab a b -+-=，也即42()15ab a b -++= 所以(21)(21)5a b --=，因a,b 都是正整数，则211215215,211,a a b b -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩或 解得：133,1,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或４由12x x ab +=得21312x =⨯-=综上，存在正整数a ＝1，b=3或a=3，b=1，使得 方程0)(212=++-b a abx x 有两个整数解为121,2x x ==。

13．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足BCADCF DE =．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ． 求证： （1）PCPDBC AD =； （2）△PAB ∽△PDC ． 证明：（1）连结PG ，PE ，PF ，四边形PGED 和四边形PGFC 都内接于圆180180PGE PDE PDE PCF PGF PCF PED PGD PFC ∠+∠=︒⎫⎧⎫⇒⇒∠=∠⎨⎬⎪⇒∠+∠=︒⎬⎩⎭⎪∠=∠=∠⎭PCE ∆∆PD DE PC CF AD DE BC CF ⎫⇒=⎪⎪⇒⎬⎪=⎪⎭PCPD BC AD = （2） PDE PCF PDA PCB PAD PBC AD PD BC PC ∠=∠⇒∠=∠⎫⎪⇒∆∆⇒⎬=⎪⎭APD BPC APB DPC PA PD PA PB PB PC PD PC ∠=∠⇒∠=∠⎧⎫⎪⎪⎨⎬=⇒=⎪⎪⎩⎭PAB PDC ⇒∆∆14．（1）是否存在正整数m ，n ，使得)1()2(+=+n n m m ？（2）设)3(≥k k 是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得)1()(+=+n n k m m ？ 解：（1）由)1()2(+=+n n m m 得：22(1)1m n n +=++又因为当n 为正整数时，2221(1)n n n n <++<+，所以21n n ++不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数m ，n ，使得)1()2(+=+n n m m(2)当k=3时，由(3)(1)m m n n +=+得：23(1)0m m n n +-+=，若关于m 的方程有正整数解，则2294(1)8(21)n n n l ∆=++=++=（l 为正整数）， 即22(21)8,[(21)][((21)]8l n l n l n -+=++-+=５所以(21)8(21)4,(21)1(21)2l n l n l n l n ++=++=⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩或， 解得：54,0n = 所以不存在正整数m ，n ，使得)1()(+=+n n k m m 。

当3k >时，①若2(2k t t =≥的正整数)，代入)1()(+=+n n k m m 。

整理得22(1)0m tm n n +-+= 设222244(1)(41)(21)t n n t n l ∆=++=-++=（l 为正整数）即2222(21)41[(21)][((21)]41)1l n t l n l n t -+=-++-+=-⨯，（ 令2(21)41(21)1l n t l n ⎧++=-⎨-+=⎩，解得2221l t n t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时2222222t l t t m t t -+-+===- ②若21(2k t t =+≥的正整数)，代入)1()(+=+n n k m m 。

整理得2(21)(1)0m t m n n ++-+= 设222(21)4(1)4(1)(21)t n n t t n l ∆=+++=+++=（l 为正整数）即22(21)4(1)[(21)][((21)]2(1)2l n t t l n l n t t -+=+++-+=+⨯，令(21)2(1)(21)2l n t t l n ++=+⎧⎨-+=⎩，解得21(1)12l t t t t n ⎧=++⎪⎨+=-⎪⎩，此时22(21)(21)1222t l t t t t tm -++-++++-=== 并且m ，n 的值都是正整数。