弹塑性力学
第三章 变形几何理论 （续1）
第三章概述与学习指导： ★ 第三章概述与学习指导：
本章介绍了弹塑性力学基本理论中的几何变形 的应变理论。 的应变理论。 在应变理论的研究过程中， 在应变理论的研究过程中，仅在连续性假设和 小变形的前提条件下研究变形， 小变形的前提条件下研究变形，而没有涉及到材料 具体的变形性质。 具体的变形性质。 因此， 因此，几何变形的应变理论是对固体力学各分 支学科普遍适用的理论。 支学科普遍适用的理论。 本章应变理论的学习可分成以下三部分进行学 习：
◆ 考察单元体在xy平面上投影 ABCD 的变形。 考察单元体在xy平面上投影 的变形。 xy ◆ 当微分体
变形并出现位 移后， 移后，其在xoy 平面上的投影
ABCD 就移至
新的位置： 新的位置：
A′B′C ′D′
如图所示。 如图所示。
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位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续5）
位移
｛
刚性位移：反映物体整体位置的变动； 刚性位移：反映物体整体位置的变动； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化；
研究物体在外力作用下的变形规律， 研究物体在外力作用下的变形规律，只 需研究物体内各点的相对位置变动情况， 需研究物体内各点的相对位置变动情况，即 研究变形位移。 研究变形位移。
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位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续1）
通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 坐标即为： 参照 oxyz 坐标即为：
u = u (x , y , z) ； v = v (x , y , z) ； w = w (x , y , z)
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 14） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续14）
转角方程： ◆ 转角方程：
1 1 ∂v ∂u ω z = ω ′ + ω ′′ = (α yx − α xy ) = − z z 2 2 ∂x ∂y 1 ∂w ∂v ωx = − 2 ∂y ∂z 1 ∂u ∂w ωy = − 2 ∂z ∂x
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续7）
★ 在一物体内任取一点A，
坐标， 建立oxy坐标，沿x、y两方 向分别取微线段 AB ＝∆x AC ＝Δy。该物体受外力 作用产生变形， 作用产生变形，A、B、C 三 点变形后位移到A ′、B ′ C ′处，且变形后长度为： 且变形后长度为： A ′B ′＝Δx＋Δu ， A ′C ′＝Δy＋Δv， 且方位发生改变， 且方位发生改变，则由线应 变和剪应变定义知： 变和剪应变定义知：
弹塑性力学
第三章 变形几何理论 （续2）
其一：正确理解位移、应变、应变状态、应变张量、 其一：正确理解位移、应变、应变状态、应变张量、等效
应变、主应变、主方向、最大（最小）剪应变等概念。 应变、主应变、主方向、最大（最小）剪应变等概念。 熟练掌握一点应变状态任意某一方位上的线应变和某 两相互垂直方位所夹直角的改变量（剪应变）的计算、 两相互垂直方位所夹直角的改变量（剪应变）的计算、主 应变和主应变方位（主方向）的计算和确定、平面应变圆 应变和主应变方位（主方向）的计算和确定、 和空间应变圆的绘制、应变张量的分解、 和空间应变圆的绘制、应变张量的分解、平面应变理论和 空间应变理论的联系、 空间应变理论的联系、应变理论和应力理论间的数学转换 关系。 关系。 上述内容涉及教材§ 、 上述内容涉及教材§3-1、§3-2、§3-3、§3-4、§3-6 、 、 、 。 节弹塑性力学
几何方程： ⑵ 几何方程：
∂u ； εx = ∂x ∂v εy = ； ∂y ∂w εz = ； ∂z
γ xy γ yz γ zx
∂u ∂v = + ∂y ∂x ∂v ∂w = + ∂z ∂y ∂w ∂u = + ∂x ∂z

（3---2）
该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满 足的关系，称为几何方程，也称为柯西（Augustin足的关系，称为几何方程，也称为柯西（AugustinCauchy）几何关系。其缩写式为： Louis Cauchy）几何关系。其缩写式为：
ε y = ∂v
∂y
方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）： A点x，y方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）：
γ xy = α + β
弹塑性力学
也即： 也即：
γ
xy
= ∂u + ∂v ∂y ∂x
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续6）
线应变→ 1.涉及受力物体 角应变→ 线应变→ 1.涉及受力物体 角应变→ 1、涉及受力物体内
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位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续2）
位移函数： 位移函数：
u = u (x , y , z) ； v = v (x , y , z)； w = w(x , y , z)
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位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续3）
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位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续8）
(∆x + ∆u ) − ∆x ∂u ε x = lim = ∆x →0 ∆x ∂x
γ xy = α − β = lim(∠C′A′B′ −∠CAB)
∆x→0 ∆y→0
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续9）
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 13） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续13）
转角方程： 4、转角方程：
◆ 考察由于变形引起图 中对角线AC的转动。 中对角线AC的转动。 AC的转动 由平面情况推广到空 间情况。 间情况。 ◆ 分析知单元体对角线 分别绕x 分别绕x、y、z 轴的 旋转角度计算式为： 旋转角度计算式为：
其三：简单了解应变速率、 其三：简单了解应变速率、应变增量的概念和物体表面应变测
量技术。这些内容涉及教材§ 、 量技术。这些内容涉及教材§3-6、§3-7。 。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量
位移分量和相对位移分量： 1、位移分量和相对位移分量：
位移、应变、应变状态、几何方程、 12） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续12）
由几何方程式可以看出， ◆ 由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定， 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定， 因为应变是位移的微分形式。 因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量 完全确定时，位移分量则不一定能求解出来， 完全确定时，位移分量则不一定能求解出来， 这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移 还可能包括有刚性位移。 外，还可能包括有刚性位移。
εx εxy εij = εy (对称)
弹塑性力学
1 γ xy εxz ε x 2 ε yz = εy εz (对称)
1 γ xz 2 1 γ yz 2 εz
（3---6）
位移、应变、应变状态、几何方程、 11） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续11）
第三章 变形几何理论 （续3）
其二：重点正确理解和掌握几何方程力学意义和应用、 其二：重点正确理解和掌握几何方程力学意义和应用、应变协
调方程（即变形连续性方程、或变形连续性条件、 调方程（即变形连续性方程、或变形连续性条件、或相 容方程）的数学意义和物理力学意义及其应用。这些内 容方程）的数学意义和物理力学意义及其应用。 容涉及教材§3-1、§3-5节。 容涉及教材§ 、 节
ε xy εx εij = εy (对 ) 称
ε xz ε yz εz
1 ∂u ∂w + 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂w + 2 ∂z ∂y ∂w ∂z
=
弹塑性力学
∂u 1 ∂u ∂v + ∂x 2 ∂y ∂x ∂v ∂y (对称)
弹塑性力学
1 ε ij = (ui′j + u j′i ) 2
(i, j = x, y, z)
（3---7）
位移、应变、应变状态、几何方程、 10） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续10）
应变状态、应变张量： 3、应变状态、应变张量：
受力物体内某点处线应变和剪应变的总和， 受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反 映和表征了该点的变形程度(状态) 称之为应变状 映和表征了该点的变形程度(状态)，称之为应变状 态。 一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示， 一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示， 称为应变张量， 表示， 称为应变张量，用 ε ij 表示，即：
据定义有： 沿x方向棱边 AB 的线应变 ε x ，据定义有：
εx
A B − dx = dx
2 x
也即： 也即：
2
A B = (ε x + 1) dx
2
∂u ∂u ∂v 2ε x + εε x = ∂u ；
∂x
（略去高阶微量得：） 略去高阶微量得：）