导数大题 1．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()(10)10V t H t =-（H 为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻是图中的（ ）（A ）1t（B ）2t（C ）3t （D ）4t2．函数3()e xf x x =的极值点0x = ，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程是 .3．已知函数2()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R .（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切，求a ，b 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1[,e]e上的最大值；（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）()2af x bx x'=-. 由函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，得(1)0,1(1).2f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩即20,1.2a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得a b ⎧⎪⎨⎪⎩ (2)，定义域为此时()f x x x '=-2=xx.令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >．所以()f x 在（1e，1）上单调递增，在（1，e ）上单调递减，所以()f x 在1[,e]e上的最大值为1(1)2f =-． ………………………………8分（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，即2ln a x bx x-≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，即2ln a x x bx -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，即ln 0a x x -≥对2(e,e ]x ∈恒成立． …………………11分即ln xa x≥对2(e,e ]x ∈恒成立， 即a 大于或等于ln xx在区间2(e,e ]上的最大值．令()ln x h x x =，则2ln 1(=(ln )x h x x -'），当2(e,e ]x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()ln x h x x=，2(e,e ]x ∈的最大值为22e (e )2h =．即2e 2a ≥．所以a的取值范围是2e [,)2+∞． ………………………………14分4．已知函数2()e xf x x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：1x ∀，2(,0]x ∈-∞，1224()()e f x f x -≤； （Ⅲ）写出集合{()0}x f x b ∈-=R （b 为常数且b ∈R ）中元素的个数（只需写出结论）．解：（Ⅰ）()(2)xf x x x e '=+．令()(2)0xf x x x e '=+=，则12x =-，20x =．)所以函数()f x 的单调递减区间为(2,0)-，单调递增区间为 (,2)-∞-,(0,)+∞．…………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，单调递减区间为(2,0)-， 所以当(,0]x ∈-∞时，()=f x 最大值24(2)f e -=．因为当(,2]x ∈-∞-时，()0f x >，(0)0f =，所以当(,0]x ∈-∞时，()=f x 最小值(0)0f =．所以()f x 最大值-()=f x 最小值24e． 所以对1x ∀，2(,0]x ∈-∞，都有12()()f x f x -≤()f x 最大值-()=f x 最小值24e ． ……………………10分（Ⅲ）当0b <时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为0；当0b =或24b e >时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为1；当24b e =时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为2；当240b e <<时，{()0}x f x b ∈-=R 的元素3． …………13分5．已知函数1()ln ()f x a x a R x=+∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．解：（Ⅰ）当2a =时，1()2ln f x x x=+，(1)1f =，所以221()f x x x'=-，(1)1f '=．所以切线方程为y x=． ……………………3分（Ⅱ）因为()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，等价于21()20a g x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立，变形得12a x x≤+ (0)x >恒成立， 而12x x +≥=（当且仅当12x x=，即2x =时，等号成立）．所以a ≤．……………………8分（Ⅲ）21()ax f x x-'=． 令()0f x '=，得1x =． 所以min 1()=()f x f a=1ln (1ln )a a a a a +=-．（ⅰ）当0a e <<时，min ()0f x >，所以()f x 在定义域内无零点；（ⅱ）当a e =时，min ()0f x =，所以()f x 在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当a e >时，min ()0f x <， ① 因为(1)10f =>，所以()f x 在增区间1(,)a+∞内有唯一零点；② 21()(2ln )f a a a a=-，设()2ln h a a a =-，则2()1h a a'=-， 因为a e >，所以()0h a '>，即()h a 在(,)e +∞上单调递增，所以()()0h a h e >>，即21()0f a >，所以()f x 在减区间1(0,)a内有唯一的零点．所以a e >时()f x 在定义域内有两个零点．综上所述：当0a e <<时，()f x 在定义域内无零点； 当a e =时，()f x 在定义域内有唯一的零点；当a e >时，()f x 在定义域内有两个零点． ……………………13分 6．已知函数325()2f x x x ax b =+++ ,327()ln 2g x x x x b =+++，（a ，b 为常数）． （Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）设()g x 在1x =处的切线方程为5y kx =-，因为21()37,(1)11g x x x g x''=++=， 所以11k =，故切线方程为115y x =-.当1x =时，6y =，将(1,6) 代入327()ln 2g x x x x b =+++， 得32b =． …………………………3分 （Ⅱ）()2'35f x x x a =++，由题意得方程32325352x x ax b x x ax x +++=+++有唯一解，1)(,)8-+∞………………………（Ⅲ）2()ln ,F x ax x x =-- 所以221'()x ax F x x-+=-.因为()F x 存在极值，所以221'()0x ax F x x-+=-=在),0(+∞上有根，即方程0122=+-ax x在),0(+∞上有根，则有2=80a ∆-≥.显然当=0∆时，()F x 无极值，不合题意； 所以方程必有两个不等正根． 记方程0122=+-ax x的两根为21,x x ，则12121022x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，2212121212()()()()(ln ln )F x F x a x x x x x x +=+-+-+21ln 14222-+-=a a >15ln 2- ,解得162>a ，满足0∆>. 又1202ax x +=>，即0a >， 故所求a 的取值范围是),4(+∞． …………………………14分。