方法 3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。
注意：“函数 f ( x) 在 m, n 上是减函数”与“函数 f ( x) 的单调减区间是 a, b ”的区别是前者是后者的子集。
例 已知函数 f (x) x2 a ln x + 2 在 1, x
（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）
1,2 的极小值。
二．单调性问题
题型 1 求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ 1）在求极值点的过程中，未知数的系数与
0
的关系不定而引起的分类； （2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与
切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线 y x2 与曲线 y 2eln x 的公切线方程。 （答案 2 ex y e 0 ）
三．极值、最值问题。
题型 1 求函数极值、最值。
基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。
例 已知函数 f (x) ex x (k 1) ex 1 x 2 kx 1 ，求在 x 2
3. 对 x1 m, n , x2 m, n ， f ( x1 ) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) max g( x2 ) min 。
4. 对 x1 m, n , ，恒成立 4. 对 x1 m, n , x2 5. 对 x1 m, n , x2
f ( x1) g (x1) 。转化 f (x1) g(x1) 0 恒成立 m, n ， f (x1) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) min g (x2 )min 。 m, n ， f (x1) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) max g( x2 ) max
内不单调，求实数
a 的取值范围。
2
（答案： a 2, 3 ））
题型 3 求两个曲线 y f ( x) 、 y g( x) 的公切线。
方法：设曲线 y f ( x) 、 y g( x) 的切点分别为（ x1 , f ( x1 ) ）。（ x2, f (x2 ) ）； 建立 x1 , x2 的等式关系， (x2 x1) f (x1) y2 y1 ， ( x2 x1) f ( x2 ) y2 y1 ；求出 x1 , x2 ，进而求出
（答案 0, ）
上是单调函数，求实数 a 的取值范围．
题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法 1：正难则反，研究在某区间的不单调 方法 2: 研究导函数是零点问题，再检验。 方法 3: 直接研究不单调，分情况讨论。
例 设函数 f ( x)
x3
ax2
x 1， a
R 在区间
1 ,1
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
b 求出 x0 ，进而解决相关问题。
3
例 已知函数 f （ x）=x ﹣ 3x．
（ 1）求曲线 y=f （ x）在点 x=2 处的切线方程； （答案： 9x y 16 0 ） （ 2）若过点 A A(1, m)( m 2) 可作曲线 y f ( x) 的三条切线，求实数 m 的取值范围、
（ 2）若 x 2,e ，求函数 f ( x) 的单调区间。 （利用极值点与区间的关系分类）
题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法： 1. 利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。 方法 2. 转化为函数单调性问题。
例 函数 f ( x) 1 x 4 1 (1 p) x3 1 px 2 p(1 p)x 1 。 0 是函数 f ( x) 的极值点。求实数 p 值。（答案： 1）
0的
关系不定） ；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；
(4) 在求极值点的过程中，极值点与
区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。
例 已知函数 f ( x) aln x 1 x2 (a 1) x 2
（ 1）求函数 f ( x) 的单调区间。 （利用极值点的大小关系分类）
（ 2）讨论法 : 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系
4
3
2
题型 2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。
题型 3 已知最值，求系数值或范围。 方法： 1. 直接求最值； 2. 转化恒成立，求出范围，再检验。
例 设 a R ，函数 f (x) ax3 3x2 ．若函数 g( x) f ( x)
值范围． （答案：
6 ,）
5
f ( x)， x [0，2] ，在 x
高考压轴题：导数题型及解题方法
一．切线问题
题型 1 求曲线 y f ( x) 在 x 方法： f ( x0 ) 为在 x
x0 处的切线方程。 x0 处的切线的斜率。
（自己总结供参考）
题型 2 过点 (a,b) 的直线与曲线 y f ( x) 的相切问题。 方法：设曲线 y f ( x) 的切点 ( x0 , f (x0)) ，由 ( x0 a) f ( x0 ) f (x0 )
6. 对 x1 m, n , x2
增函数。
m, n ， f ( x1 ) f ( x2 ) a 成立。则构造函数 t ( x) x1 x2
f (x) ax 。 转化证明 t (x) 在 m, n 是
题型 1 已知不等式恒成立，求系数范围。
方法： (1) 分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。
（提示：设曲线 y f ( x) 上的切点（ x0 , f ( x0 ) ）；建立 x0 , f (x0 ) 的等式关系。将问题转化为关于 程有三个不同实数根问题。 （答案： m 的范围是 3, 2 ）
x0 , m 的方
方法 1：研究导函数讨论。
方法 2：转化为 f ' ( x) 0或f ' ( x) 0 在给定区间上恒成立问题，
0 处取得最大值，求 a 的取
四．不等式恒成立（或存在性）问题。
一些方法
1. 若函数 f ( x)值域 m, n ， a ＞ f ( x) 恒成立，，则 a n
2. 对任意 x1 m, n , x2 m, n ， f ( x1 ) g( x2 ) 恒成立。则 f (x1) min g( x2 ) max 。