积 分整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.一、不定积分不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)二、定积分1.定义式:()baf x dx ⎰2.定义域:一维区间,例如[,]a b3.性质:见课本P 229-P 232特殊:若1f =,则()baf x dx b a =-⎰,即区间长度.4.积分技巧:奇偶对称性.注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()bbaaf x dx f y dy =⎰⎰,而不定积分不具有这种性质.5.积分方法:与不定积分的方法相同.6.几何应用: 定积分的几何意义: ()baf x dx ⎰表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负);其他应用:如()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长(baf x ⎰等.三、二重积分 1.定义式:(,)xyD f x y d σ⎰⎰2.定义域:二维平面区域3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若1f =,则(,)xyD f x y dxdy S =⎰⎰,即S 为xy D 的面积.4.坐标系: ①直角坐标系:X 型区域,Y 型区域②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用:二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xyD f x y dxdy ⎰⎰表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积;其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xyD ⎰⎰四、三重积分 1.定义式(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2.定义域:三维空间区域;3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若1f =,则(,,)f x y z dv VΩ=⎰⎰⎰,其中V 表示Ω的体积.4.坐标系:①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用)②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后ϕ,最后r .5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.6.应用:(,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰为物体质量.(不考虑几何意义)五、第一类曲线积分1.定义式:(,)Lf x y ds ⎰(二维) | (,,)Lf x y z ds ⎰(三维)2.定义域:平面曲线弧 | 空间曲线弧3.性质:见课本P 128 特殊:1f =则L fds s =⎰,s 表示曲线弧长.4.计算公式(二维为例):(,)((),(b Laf x y ds f t t ϕψ=⎰⎰ :(),(),[,]L x t y t t a b ϕψ==∈类似可推出:(),[,]L y y x x a b =∈的公式.注意化为定积分时下限小于上限.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;6.几何应用:见上3. 六、第二类曲线积分 1.定义式:(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰(二维)(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dy ++⎰(三维)2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)3.性质:见课本P 1354.计算公式:(,)(,)[((),())()((),())()][(,())(,())()]bLa d cP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dtP x f x Q x f x f x dxϕψϕϕψψ''+=+' =+⎰⎰⎰注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关. 不能使用奇偶对称性.6.应用:力做功. 七、第一类曲面积分 1.定义式:(,,)f x y z dS ∑⎰⎰2.定义域:空间曲面注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例. 3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似 特殊:1f =则(,,)f x y z dS S ∑=⎰⎰,S 表示曲线面积.4.计算公式:(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰类似可得在另两个曲面上的投影公式.注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.6.几何应用:见上3. 八、第二类曲面积分 1.定义式Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰2.定义域:有向空间曲面3.性质:见课本P 1624.计算公式:(,,)(,,(,))xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰,类似可得另两个.5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封 闭.6.应用:求流量,磁通量等. 奇偶对称性:定积分:若积分区间关于原点对称,例如[,]a a - 若()f x 关于x 为奇函数,则()0aaf x dx -=⎰若()f x 关于x 为偶函数,则0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰二重积分:若积分区域D 关于y 轴对称,记1D 为0x >的部分若(,)f x y 关于x 为奇函数,则()()(,)(,)0x y Dx y f x y dxdy dy f x y dx -==⎰⎰⎰⎰若(,)f x y 关于x 为偶函数,则1()()()(,)(,)2(,)2(,)x y x y Dx y D f x y dxdy dy f x y dx dy f x y dx f x y dxdy -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同样可以得到积分区域D 关于x 轴对称时,(,)f x y 关于y 为奇、偶函数的公式.三重积分: 若积分区域Ω关于xoy 面对称,记1Ω为0z >的部分若(,,)f x y z 关于z 为奇函数,则(,)(,)(,,)(,,)0z x y z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz Ω-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰若(,,)f x y z 关于z 为偶函数,则1(,)(,)(,)0(,,)(,,)2(,,)2(,,)z x y z x y z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dzdxdy f x y z dz f x y z dxdydzΩΩ-= ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况. 例题:P 123#1(1)(2) P 124#2(4) 第一类曲线积分:若积分曲线L 关于y 轴对称,记1L 为0x >的部分若(,)f x y 关于x 为奇函数:(,)0Lf x y ds =⎰若(,)f x y 关于x 为偶函数:1(,)2(,)LL f x y ds f x y ds =⎰⎰同样可以得到曲线关于x 轴对称的情况.第一类曲面积分:若积分曲面∑关于xoy 面对称,记1∑为0z >的部分, 若(,,)f x y z 关于z 为奇函数:(,,)0f x y z dz ∑=⎰⎰若(,,)f x y z 关于z 为偶函数:1(,,)2(,,)f x y z dz f x y z dz ∑∑=⎰⎰⎰⎰同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况. 例题:课本P 158#6(3),P 184#2变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如2222,1x y z R x y z ++=++=等,此时()()()f x dS f y dS f z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例题1:2,I x ds Γ=⎰其中Γ为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截的曲线.例题2: 22()d ,I x y S ∑=+⎰⎰其中∑为球面2222().x y z x y z ++=++循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且,,P Q R中,,x y z依次替换,即,,x y y z z x →→→后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有3Pdydz Qdzdx Rdxdy Rdxdy ∑∑++=⎰⎰⎰⎰例题:课本168页#3(4)质心:适用重积分,第一类积分.请同学们思考如何区别各种积分?(定义域) 区别:以下两个例题应该怎样算?222222()d ,()x y z S x y z dxdydz Ω∑++++⎰⎰⎰⎰⎰,其中22222222:,:x y z R x y z R ∑Ω++=++≤。