y sin x
y sin x cos dx 1 cos x sin dx cos x
dx
dx
y cos x y sin x
42
导数的一些重要性质
y A1y1 A2 y2 y A1y1 A2 y2
y y1y2 y y1y2 y1y2
力学
主讲教师：刘树新
北京大学物理学院
第零章数学补充知识
A 行列式 B 矢量的代数运算 C 一元函数微积分 D 多元函数微积分
1
A 行列式
A.1 行列式
211 1 -2 -1 -1 -1 2
i x Fx j y Fy k z Fz
2
三阶行列式可以一般地表述成
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
元素： a i j
i: 行标; j: 列标
2阶、1阶、零阶行列式分别表述成
a1 1 a21
a1 2 a22
a1 1
3
行列式的运算规则可用下述递归方式定义：
定义 1
a11 a11 a11
a1 1 a21
a1 2 a22
a11 a22
a21 a12
a1 1 a21 a31
a1 2 a22 a32
a11 a12 a13
ka21 ka22 ka23 k a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
6
性质3：对换行列式中两行的位置， 行列式反号。
性质4：如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。
a11 a12 a13 ka11 ka12 ka13 0 a31 a32 a33
三重标积
A(BC)
A

几何意义：平行六面体的体积
C


Ax Bx Cx
B
A (B C) A y By Cy
Az Bz Cz
三重标积的循环 可 交换性 A (BC) B(C A) C(A B)
32


A , B , C 共面 A (BC) 0
C.1 微分 一元函数可记为
y y(x)
y
y y
y
或 y F(x)
自变量 x 的增量: x
O
函数增量: y y(x x) y(x)
x x x x
35
线性函数 y A x B
Δy y(x Δ x) y(x)
y Ax
当自变量的增量很小时， 其它函数的增量能否写成类似的形式？
a qS S a
1 q
10
例2. 求无穷串并联系列的电阻
R A B
设AB间的电阻为RAB
则有
RAB
2R
1
1
1
R RAB
11
思考题1：取火柴游戏
N根火柴，2人取，每人一次取 1至a根，最后取者为负（a>1)
对先取者，什么样的N是必胜态， 什么样的N是必败态
12
思考题2：机器猫与玩具鼠
2 i
i 1

AB
k
( Ai Bi )e i
i 1
19
思考题3： k维空间正方“体”
顶点数 棱数 面数 面积 体积
3维正方体
8
12
6
6a2 a3
2维正方“体”
4
1维正方“体”
2
4
4
4a a2
1
2
2
a
20
(1)从度量的角度分析，为什么数学上给出 S1=2
(2)对k维空间正方“体”， 用递归方法求出它的顶点数、棱数和“面”数； 若棱长为a，再求它的“体积” Vk和“面积” S
39
数学上可以证明, 对无穷小量dx, 有
Ax Bdx Ax 简书为 Ax Bdx Ax
cos dx 1 简书为 cosdx 1
sin dx dx 简书为 sindx dx
tan dx dx 简书为 tandx dx
1
1
(1 dx)dx e 简书为 (1 dx)dx e
yx yuux ( Acos u)B AB cos(Bx C)
45
y Acos x
可变换为 y Asin( x )
2
即得 y Acos(x ) Asin x
2
46
y tan x
可变换为
y sin x cos x
即得
y

(sin
x)'
矢量的某一分量 Ax A i
24
k维空间
正交归一性
e i
e j

δi j

0 1
k
A B A iBi i 1
若i j 若i j
25
例题3 重力功的计算
W

b
(
mg)

Δl
a
b
za
mgz
a
mg(zb za ) mgh
鼠猫
不动
½
½
0
1
2
3
只要猫捉到鼠，游戏结束，问猫捉到鼠 的概率P=？
13
B 矢量的代数运算
B.1 矢量的叠加与分解
标量：只有大小，没有方向
既有大小，又有方向的量是矢量，记为 A
矢量的大小称为矢量的模，记为 A
单位方向矢量
A

A
或


A
/
A
14
万有引力定律

M
F
m
r
F

G
e 2.71828182845904523536028747135266 249775724709369995957496696762772 40766303535475945713821785251664274
40
C.2 微商（导数）
y
定义 y(x) dy
dx
y
或 y dy
dx
A
x
i

A
y
j

A
zk

Bx i By j Bzk
A x Bx i A y By j Az Bz k
18
k维空间
K维空间矢量
A

A1e1

A 2e 2

A ke k
k A ie i i 1
矢量的模 矢量的和
A
k
A
7
A.2 应用
线性代数方程组
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
a11 a12 a13
引入分母行列式 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
8
引入分子行列式
17
矢量的分解
z


x轴单位矢量 i
y轴单位矢量 j
z轴单位矢量
k
Az

i
A
k
j
Ay
y
A Axi Ay j Azk
x Ax
A xy

可简写为: A : Ax, Ay , Az 或 Ax, Ay , Az



A B
例4 矢积在物理学中的应用一
力矩
L

r

p
洛仑兹力
F

qv

B
30
例5 矢积在物理学中的应用二
B
b
安培力

b
Il
F IΔl B
a
a
毕奥-沙伐尔定律
B

0
Il

r
4r 3
P

r
Il
31
B.4 矢量的三重积
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 , D2
b3 a32 a33
方程组的解能表述为
xi

Di D
i 1,2,3
9
例1. 公比0≤q＜1的无穷等比级数求和
S a aq aq2 aq3
a q a aq aq2 aq3
zb
z
xy平面
P
a
l
mg
b
26
B.3 矢量的矢积
C(右)
B
三维空间 两个矢量的矢积定义为
φ B

A
C(左)
AB C:
C的C方向AB或s由in 右 φ 手系(平确行定四,或边由形左的手面系积确）定
27
矢积的一些基本性质
反交换律 分配律


(αA) B α(A B)
相应的函数增量 y 0 , 称为函数微分,记成dy
dy与dx的关系 dy y(x dx) y(x)
微分 ——忽略高阶无穷小
y Ax B, dy Adx y Ax2, dy A(2x dx)dx y sin x, dy sin x(cos dx 1) cos x sin dx
y y1 y2
y
y1y2 y1 y2 y22
43
复合函数的微商
y y(u) u u(x)
yx yuux
链式法则:
yx

dy dx

dy du
du dx

yu ux