又因为向量(－3，－4,5)的模为 －32＋－42＋52＝5 2，
所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是
1 ±5
2(－3，－4，5)＝±102(－3，－4,5).
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解析 答案
6.O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且O→P＝34O→A＋81O→B＋tO→C， 1
若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t＝_8__. 解析 ∵P，A，B，C四点共面，
第八章 立体几何与空间向量
§8.6 空间向量及其运算
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
1.空间向量的有关概念
知识梳理
名称 零向量 单位向
量
概念 模为 0 的向量
1 相同 相等
长度相(反模)为相的等 向量
相等向 方向平行或重且合模
的向量
量
平面
表示 0
a＝b
_________a_21＋_a_22_＋_a_23 _________
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
___________________
【知识拓展】 1.向量三点共线定理 在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：O→A＝xO→B＋yO→C(其中 x＋y ＝1)，O 为平面内任意一点. 几何画板展示 2.向量四点共面定理 在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其 中 x＋y＋z＝1)，O 为空间中任意一点. 几何画板展示
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解析 答案
题组三 易错自纠
4. 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 A(1,2,3) ， B( － 2 ， － 1,6) ， C(3,2,1) ，
D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是
A.垂直 C.异面
√B.3，－3,3)，C→D＝(1,1，－1)，
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0. ( √ ) (6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( × )
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π ，若
〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b 互相垂直 ，记作 a⊥b.
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则 |a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数 量积，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝ λ(a·b) ； ②交换律：a·b＝ b·a ； ③分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
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题组二 教材改编
2.如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.
若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是
√A.－12a＋12b＋c
B.12a＋12b＋c
C.－12a－12b＋c
D.12a－12b＋c
解析 B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量 积 共线
垂直
向量表示
a·b
a＝λb(b≠0， λ∈R)
a·b＝0(a≠0，
坐标表示
a1b1＋a2b2＋a3b3
a_1＝__λb_1_，_a_2＝__λb_2_，_a_3＝__λb_3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.
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解析 答案
3.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长 为__2__. 解析 |E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2 ＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2， ∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长为 2.
∴A→B＝－3C→D，∴A→B与C→D共线，
又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
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解析 答案
5.
与
向
量
(
－
3,
－
4,531) 02，共2 5 2线，－的22和单－31位02，－向2 5
2量，
2 2 是
解__析____因__为__与__向__量___a_共__线__的__单__位__向__量__是__±_|aa_|_，_.
解析 ∵O→C＝21A→C＝12(A→B＋A→D)，
∴O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1 ＝12A→B＋12A→D＋A→A1.
解析 答案
2.(2017·上饶期中)如图，在三棱锥 O—ABC 中，M，N 分别是 AB，OC
∴34＋18＋t＝1，∴t＝18.
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解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 空间向量的线性运算
自主演练
1.如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点.用A→B，A→D， A→A1表示O→C1，则O→C1＝__12_A→_B_＋__12_A→_D__＋__A→_A_1_.
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝ xa＋yb ，其中x，y∈R，a，b为不共线 向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组 {x，y，z}，使得p＝ xa＋yb＋zc ，{a，b，c}叫作空间的一个基底.