一、函数与几何综合的压轴题1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ''''==又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC''+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2316EO DO DB AB ''=⨯=⨯=∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上图①图②方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

同（1）可得：1E F E FAB DC''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '⇒=，∴13DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122223DC DB DC DF DC DB •-•=•=13DC DB •=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()1132322BD E F k k '=•=+⨯=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式.证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()2213992AE C ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+•=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若421hS S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt △AOM 中，AO ＝122=-OM AM ，∴点A 的坐标为A （0，1）（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0）， AB ＝2112222=+=+AO BO在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2222224)2()2(BM AM AB ==+=+∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝10)22()2(2222=+=+AC AB∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，∴πππ25)210()2(221=•=•=BC S而πππ2)222()2(222=•=•=AC S421h S S =Θ，5,4225=∴=h h 即 ππ设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5 ∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上） 求得∴h ＝5由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-=+-=++5055c 0b 5544002c b a a ab ac c b a c b a 或 ＝－ 解得∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒AB 的长； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD若不存在，请说明理由.[解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120°⌒AB 的长＝342180120ππ=⋅⋅︒︒ （2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上， 则C(1，－3).点A 、B 、C 在抛物线上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-+-=++++=c b a c b a c b a 3)31()31(0)31()31(022 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==221c b a ∴抛物线解析式为222--=x x y（3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD.又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）.又点D （0，－2）在抛物线222--=x x y 上，故存在点D （0，－2）， 使线段OC 与PD 互相平分.4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C （0在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P[解] (1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴△AOC ≌△COB .∴OC 2＝OA ·OB .∵OA ∶OB ＝3∶1,C∴23.OB OB =g∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0).设抛物线的解析式为2.y ax bx c =++则930,0,a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩解之，得a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴经过A 、B 、C三点的抛物线的解析式为23y x =-- (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切.证明：连结O 1E 、OE 、OF .∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a . ∵MN ∥OA ,∴△CMN ∽△CAO .∴.MN CNAO CO =∴3a =解之，得a =此时，四边形OPMN 是正方形.∴MN OP ==∴(P考虑到四边形PMNO 此时为正方形，∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形.故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形且3(,0)2P -或(0,0).P 5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点．(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=21x 将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=823，右边=21×415+1=823， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=21x +1上，即点A 、C 、E 在一条直线上.（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax 2+b x +c的顶点P 的纵坐标为ab a 442—，且P 在矩形ABCD 内部，∴1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—ab 42＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.由方程组 y=ax 2—6ax +1y=21x +1 得：ax 2—（6a +21）x =0 （3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴21GO ·AO —21FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a1＜0，∴x 1＜0＜x 2， ∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6， 即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a b ∴—ab=6， ∴b= —6a ,∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3, ∴—92＜a ＜0.∴x =0或x =a a 216=6+a21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点，则有：0＜6+a 21≤415，解得：—92≤a ＜—121 综合得：—92＜a ＜—121 ∵b= —6a ，∴21＜b ＜346.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动. （1）求⊙A 的半径；（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标； （4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90º再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45º可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x又由r，易得C(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1 ∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x……6分(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2，又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分 ∴C 与P′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2， 当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝22(2)()22m m m m --=-同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2－2m ；∴S ＝222(02)2(02)m m m m m m m ⎧-<>⎨-+<<⎩或 又若C(－2，0)， 此时l 为y ＝x ，同理可得；S ＝222(20)2(20)m m m m m m m ⎧+<->⎨---<<⎩或7.（2006江苏连云港）如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x xmy 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．（1）若COD ∆的面积是AOB ∆的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，由AOB COD S S ∆∆=2，得)(2BOD AOD COD S S S ∆∆∆-= ∴21·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21·OD ·2y )，(21y OC =又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ， 由xmy =可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①∴421=+y y ，km y y -=⋅21，∴8416=+km ，即mk 2-=． 又方程①的判别式08416>=+=∆km ，∴所求的函数关系式为mk 2-=)0(>m ． （2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P 则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=． ∴Rt MAP ∆∽Rt NPB ∆，∴NBMPPN AM =． ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(2121=+--y y y m y m ， 即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②由（1）知421=+y y ，221=⋅y y ，代入②得01282=+-m m ，∴2=m 或6，又m k 2-=，∴⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨⎧-==316k m ， ∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨⎧-==316k m ．8.（2004江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.（1）求抛物线和直线BC 的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . （3）若P e 过A 、B 、C 三点，求P e 的半径.（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ∆被直线BC分成面积比为13:的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.[解]（1）由题意得：12122155,, 6.m x x x x x x m m--+=⋅=-= 221212520()436,36,m x x x x m m -⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭解得1251,.7m m ==-经检验m =1，∴抛物线的解析式为：24y x =+或：由2(5)50mx m x ---=得，1x =或5x m-=0,m Q >516, 1.m m-∴-=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-由2450x x +-=得125, 1.x x =-=∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 则5,5,0. 5.b b k b k =-=-⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.（3）法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC ==∴∠=︒Q90BPC ∴∠=︒.又BC ==∴P e 的半径2PB == 法二：由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线245y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设P （－2，－h ）（h ＞0），连结PB 、PC ，则222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+，由22PB PC =，即2222(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.(2,2),P P ∴--∴e 的半径PB ==.法三：延长CP 交P e 于点F .CF Q 为P e 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=︒ 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D,.CF AC AC BCCF BC OC OC⋅∴=∴=又AC ==5,CO BC ===∞5CF ∴==P ∴e（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2(,45),t t t +-则点E 的坐标为(,55).t t -若13,MEB ENB S S =D D ::则13.ME EN =::2434,45(55).3EN MN t t t ∴=∴+-=-::解得11t =（不合题意舍去），25,3t =540,.39M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭若31,MEB ENB S S =D D ::则31.ME EN =::214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴∴存在点M ，点M 的坐标为540,39⎛⎫⎪⎝⎭或（15，280）.9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.(1) 若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标. (2) 求直线DF 的解析式.(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，∴11)3(-=⨯-m ，m =3.∴抛物线为322+--=x x y .又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为)41(，-.(2) 由题意知：AB =4.∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2. ∴ON =1. 由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ，（第9题图）∴NC ×4=2×2. ∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(--，.设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP =90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF . ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8.∴P 点坐标为)17(-，设直线DF 的解析式为b kx y +=则⎩⎨⎧-=+=+-174b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=82785b k∴直线DF 的解析式为：82785+-=x y(3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=， 则1311-=+b k ，∴1311--=k b .由方程组⎩⎨⎧+--=--=3213211x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x 由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=∆， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.10.（2004山西）已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标； （3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.[解] （1）解：∵二次函数212y x bx c =++的图象过点A （－3，6），B （－1，0）得9362102b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得132b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴这个二次函数的解析式为：21322y x x =-- 由解析式可求P （1，－2），C （3，0） 画出二次函数的图像（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45°又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC ∴DC PCBC AC=易求4AC PC BC === ∴43DC = ∴45333OD =-= ∴5,03D ⎛⎫⎪⎝⎭解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.设抛物线的对称轴交x 轴于F. 亦可证△AEB ∽△PFD 、∴PE EBPF FD=. 易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2 ∴23FD = ∴25133OD =+= ∴5,03D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在.（1°）过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝OM 又∵MC =且OM ＋MC ＝OC3,3OM OM +==得 ∴()3,0M（2°）在x 轴的负半轴上，存在一点M ′同理OM′＋OC ＝M′C ，OMOC ''+=得3OM '=∴M ′()3,0- 即在x 轴上存在满足条件的两个点.11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A （－1，0），B （3，0）.（1）若抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.[解] （1）322--=x x y ，顶点坐标为（1，－4）.（2）由题意，设y ＝a （x ＋1）（x －3），即y ＝ax 2－2ax －3a ，∴ A （－1，0），B （3，0），C （0，－3a ）， M （1，－4a ）， ∴ S △ACB ＝21×4×a 3-＝6a ， 而a ＞0， ∴ S △ACB ＝6A 、 作MD ⊥x 轴于D ，又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝21·1·3a ＋21（3a ＋4a ）－21·2·4a ＝a ， ∴ S △ACM ：S △ACB ＝1：6.（3）①当抛物线开口向上时，设y ＝a （x －1）2＋k ，即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ， 有菱形可知k a +＝k ，a ＋k ＞0，k ＜0， ∴ k ＝2a-， ∴ y ＝ax 2－2ax ＋2a， ∴ 2=EF . 记l 与x 轴交点为D ，若∠PEM ＝60°，则∠FEM ＝30°，MD ＝DE·tan30°＝66， ∴ k ＝－66，a ＝36， ∴ 抛物线的解析式为666326312+-=x x y . 若∠PEM ＝120°，则∠FEM ＝60°，MD ＝DE·tan60°＝26， ∴ k ＝－26，a ＝6， ∴ 抛物线的解析式为266262+-=x x y . ②当抛物线开口向下时，同理可得666326312-+-=x x y ，266262-+-=x x y . 12.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点。