近年来中考数学压轴题大集合【一】函数与几何综合的压轴题1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；(2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.(3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.[解]〔1〕〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB''''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC''+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2316EO DO DB AB ''=⨯=⨯= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得2x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

同〔1〕可得：1E FE FAB DC''+=得：E ′F =2 图①方法一：又∵E ′F ∥ABE F DF AB DB '⇒=，∴13DF DB= S △AE ′C =S △ADC -S △E ′DC =11122223DC DB DC DF DC DB ∙-∙=∙ =13DC DB∙=DB=3+kS=3+k 为所求函数解析式方法二：∵BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C =S △BDE ′()1132322BD E F k k '=∙=+⨯=+∴S =3+k 为所求函数解析式.证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()2213992AE CABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+∙=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.2.〔2004广东茂名〕：如图，在直线坐标系中，以点M 〔1，0〕为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.〔1〕求点A 的坐标； 〔2〕设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；〔3〕连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，假设421h S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 通过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.[解]〔1〕解：由AM ＝2，OM ＝1，在Rt △AOM 中，AO ＝122=-OM AM ，∴点A 的坐标为A 〔0，1〕〔2〕证：∵直线y ＝x ＋b 过点A 〔0，1〕∴1＝0＋b 即b ＝1∴y ＝x ＋1 令y ＝0那么x ＝－1∴B 〔—1，0〕， AB ＝2112222=+=+AO BO在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2222224)2()2(BM AM AB ==+=+∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线〔3〕解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝10)22()2(2222=+=+AC AB∵∠BAC ＝90°∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，∴πππ25)210()2(221=∙=∙=BC S而πππ2)222()2(222=∙=∙=AC S 421h S S = ，5,4225=∴=h h 即 ππ 设通过点B 〔—1，0〕、M 〔1，0〕的抛物线的解析式为：y ＝a 〔＋1〕〔x －1〕，〔a ≠0〕即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：〔接上〕求得∴h ＝5 由所求抛物线通过点B 〔—1，0〕、M 〔1、0〕，那么抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为〔0，±5〕∴抛物线的解析式为y ＝a 〔x －0〕2±5又B 〔－1,0〕、M 〔1,0〕在抛物线上，∴a ±5＝0，a ＝±5∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：〔接上〕求得∴h ＝5因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕 由得⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-=+-=++5055c 0b 5544002c b a a ab ac c b a c b a 或 ＝－ 解得∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P 〔1，－1〕为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？假设存在，求出点D 的坐标；假设不存在，请说明理由.[解]〔1〕如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M.在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120°⌒AB的长＝342180120ππ=⋅⋅︒︒〔2〕在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,那么MB ＝MA ＝3.又OM=1，∴A 〔1－3，0〕，B 〔1＋3，0〕， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上，那么C(1，－3).点A 、B 、C 在抛物线上，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-+-=++++=c b a c b a cb a 3)31()31(0)31()31(022解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==221c b a∴抛物线解析式为222--=x x y〔3〕假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，那么四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD. 又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D 〔0，－2〕.又点D 〔0，－2〕在抛物线222--=x x y 上，故存在点D 〔0，－2〕， 使线段OC 与PD 互相平分.4.〔2004湖北襄樊〕如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C 〔0〕在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . 〔1〕求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；〔2〕请猜想：直线EF 与两圆有怎么样的位置关系？并证明你的猜想.〔3〕在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.[解](1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ， ∴△AOC ≌△COB .∴OC 2＝OA ·OB .∵OA ∶OB ＝3∶1,C∴23.OB OB = ∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0).设抛物线的解析式为2.y ax bx c =++那么930,0,a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩解之，得a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴通过A 、B 、C三点的抛物线的解析式为23y x =-+ (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切.证明：连结O 1E 、OE 、OF .∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a . ∵MN ∥OA ,∴△CMN ∽△CAO .∴.MN CNAO CO =∴3a =解之，得a =如今，四边形OPMN 是正方形.∴3.2MN OP ==∴(P 考虑到四边形PMNO 如今为正方形，∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且(P 或(0,0).P5.〔2004湖北宜昌〕如图，点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点、(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由； (3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点、这时能确定a 、b 的值吗?假设能，请求出a 、由方程组 y=ax 2—6ax +1y=21x +1 得：ax 2—（6a +21）x =0 b 的值；假设不能，请确定a 、b 的取值范围、 (此题图形仅供分析参考用)[解]〔1〕由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=21x 将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=823，右边=21×415+1=823， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=21x +1上，即点A 、C 、E在一条直线上.〔2〕解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax 2+b x +c 的顶点P 的纵坐标为ab a 442—，且P 在矩形ABCD 内部，∴1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—ab 42＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.〔3〕连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3∴21GO ·AO —21FO ·AO=3∵OA=1，∴GO —FO=6.设F 〔x 1,0〕、G 〔x 2,0〕，那么x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a1＜0，∴x 1＜0＜x 2，∴GO=x 2，FO=—x 1，∴x 2—〔—x 1〕=6， 即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1=—a b ∴—ab =6，∴b=—6a ,∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1,其顶点P 的坐标为〔3，1—9a 〕,∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3,∴—92＜a ＜0.∴x =0或x =aa 216 =6+a 21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点，那么有：0＜6+a 21≤415，解得：—92≤a ＜—121综合得：—92＜a ＜—121∵b=—6a ，∴21＜b ＜346.〔2004湖南长沙〕两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动.〔1〕求⊙A 的半径；〔2〕假设抛物线通过O 、C 两点，求抛物线的解析式；〔3〕过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；〔4〕假设抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.[解](1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90º再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45º可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x 又由r，易得C(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x ……6分(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP ′⊥x 轴于P ′，∴OP ′＝|m|，PP ′＝|－m|，∴OP ＝2m 2， 又由切割线定理可得：OP 2＝PC ·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP ′7分 ∴C 与P ′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)(4)假设C(2，0)，如今l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m ≠0且m ≠2， 当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝22(2)()22m m m m--=-同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2－2m ；∴S ＝222(02)2(02)m m m m m m m ⎧-<>⎨-+<<⎩或又假设C(－2，0)，如今l 为y ＝x ，同理可得；S ＝222(20)2(20)m m m m m m m ⎧+<->⎨---<<⎩或7.〔2006江苏连云港〕如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x xmy 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点、〔1〕假设COD ∆的面积是AOB ∆的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式； 〔2〕在〔1〕的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆通过点、假设存在，求出k 和m 的值；假设不存在，请说明理由、[解]〔1〕设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，由AOB CODS S∆∆=2，得)(2BOD AOD COD S S S ∆∆∆-=∴21·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21·OD ·2y )，OC 又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ，由x m y =可得ym x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①∴421=+y y ，km y y -=⋅21， ∴8416=+km ，即mk 2-=、又方程①的判别式08416>=+=∆km ， ∴所求的函数关系式为mk 2-=)0(>m 、 〔2〕假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆通过点)0,2(P 、 那么BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 、 ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠BPN ∠=、 ∴Rt MAP ∆∽Rt NPB ∆，∴NBMP PN AM=、 ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ，∴0)2)(2(2121=+--y y y my m ， 即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②由〔1〕知421=+y y ，221=⋅y y ，代入②得01282=+-m m ，∴2=m 或6，又m k 2-=，∴⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨⎧-==316k m ，∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆通过点)0,2(P ，且⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨⎧-==316k m 、8.〔2004江苏镇江〕抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.〔1〕求抛物线和直线BC 的解析式.〔2〕在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . 〔3〕假设P 过A 、B 、C 三点，求P 的半径.〔4〕抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使M B N ∆被直线BC 分成面积比为13:的两部分？假设存在，请求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由.[解]〔1〕由题意得：12122155,, 6.m x x x x x x m m--+=⋅=-= 221212520()436,36,m x x x x m m -⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭解得1251,.7m m ==-经检验m =1，∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-或：由2(5)50mx m x ---=得，1x =或x =0,m >516, 1.m m-∴-=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-由2450x x +-=得125, 1.x x =-=∴A 〔－5，0〕，B 〔1，0〕，C 〔0，－5〕. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 那么5,5,0. 5.b b k b k =-=-⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.〔3〕法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC ==∴∠=︒90BPC ∴∠=︒.又BC ==∴P的半径2PB ==法二：由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线245y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设P 〔－2，－h 〕〔h ＞0〕，连结PB 、PC ，那么222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+， 由22PB PC =，即2222(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.(2,2),P P ∴--∴的半径PB ==.法三： 延长CP 交P 于点F .CF 为P 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=︒又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D,.CF AC AC BC CF BC OC OC⋅∴=∴=又AC ==5,CO BC ==∞5CF ∴==P ∴〔4〕设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2(,45),t t t +-那么点E 的坐标为(,55).t t -假设13,MEBENB SS =D D ::那么13.ME EN =::2434,45(55).3EN MN t t t ∴=∴+-=-:: 解得11t =〔不合题意舍去〕，25,3t =540,.39M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭假设31,MEBENB SS =D D ::那么31.ME EN =::214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::解得31t =〔不合题意舍去〕，415,t =()15,280.M ∴ ∴存在点M ，点M 的坐标为540,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或〔15，280〕.9.如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，点G 的横坐标为3.(1) 假设抛物线m x x y +--=22通过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标. (2) 求直线DF 的解析式.(3) 是否存在过点G 的直线，使它与〔1〕中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？假设存在，请求出满足条件的直线的解析式；假设不存在，请说明理由.[解](1)∵抛物线过A 、B 两点，∴11)3(-=⨯-m ，m =3.∴抛物线为322+--=x x y .又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为)41(，-.(2)由题意知：AB =4.∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2.∴ON =1. 由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ， ∴NC ×4=2×2.∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(--，.设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，那么∠CFP =90°.（第9题图）∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF .∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8.∴P 点坐标为)17(-，设直线DF 的解析式为b kx y += 那么⎩⎨⎧-=+=+-174b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=82785b k∴直线DF 的解析式为：82785+-=x y (3)假设存在过点G 的直线为11b x k y +=，那么1311-=+b k ，∴1311--=k b .由方程组⎩⎨⎧+--=--=3213211x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x 由题意得421=--k ，∴61-=k .当61-=k 时，040<-=∆，∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.10.〔2004山西〕二次函数212y x bx c=++的图象通过点A 〔－3，6〕，并与x 轴交于点B 〔－1，0〕和点C ，顶点为P.〔1〕求那个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； 〔2〕设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标； 〔3〕在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？假如存在，请求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由.[解]〔1〕解：∵二次函数212y x bx c=++的图象过点A 〔－3，6〕，B 〔－1，0〕得9362102b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得132b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴那个二次函数的解析式为：21322y x x =--由解析式可求P 〔1，－2〕，C 〔3，0〕画出二次函数的图像〔2〕解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45°又：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC∴DCPC BC AC=易求4AC PC BC === ∴43DC =∴45333OD =-=∴5,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.设抛物线的对称轴交x 轴于F. 亦可证△AEB ∽△PFD 、∴PEEB PF FD=.易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2 ∴23FD =∴25133OD =+=∴5,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭〔3〕存在.〔1°〕过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝OM又∵MC =且OM ＋MC ＝OC3,3OM OM +==得∴()3,0M〔2°〕在x 轴的负半轴上，存在一点M ′ 同理OM ′＋OC ＝M ′C，OM OC ''+=得3OM '=∴M′()3,0-即在x 轴上存在满足条件的两个点.11.〔2004浙江绍兴〕在平面直角坐标系中，A 〔－1，0〕，B 〔3，0〕.〔1〕假设抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点〔0，－3〕，求此抛物线的顶点坐标； 〔2〕如图，小敏发明所有过A ，B 两点的抛物线假如与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出那个比值；〔3〕假设对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.假设四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.[解]〔1〕322--=x x y ，顶点坐标为〔1，－4〕. 〔2〕由题意，设y ＝a 〔x ＋1〕〔x －3〕，即y ＝ax 2－2ax －3a ，∴A 〔－1，0〕，B 〔3，0〕，C 〔0，－3a 〕， M 〔1，－4a 〕，∴S △ACB ＝21×4×a3-＝6a，而a ＞0，∴S △ACB ＝6A 、 作MD ⊥x 轴于D ，又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝21·1·3a ＋21〔3a ＋4a 〕－21·2·4a ＝a ，∴S △ACM ：S △ACB ＝1：6.〔3〕①当抛物线开口向上时，设y ＝a 〔x －1〕2＋k ，即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ，有菱形可知ka +＝k，a ＋k ＞0，k ＜0，∴k ＝2a -， ∴y ＝ax 2－2ax ＋2a ，∴2=EF .记l 与x 轴交点为D ，假设∠PEM ＝60°，那么∠FEM ＝30°，MD ＝DE ·tan30°＝66， ∴k ＝－66，a ＝36， ∴抛物线的解析式为666326312+-=x x y . 假设∠PEM ＝120°，那么∠FEM ＝60°，MD ＝DE ·tan60°＝26，∴k ＝－26，a ＝6， ∴抛物线的解析式为266262+-=x x y .②当抛物线开口向下时，同理可得666326312-+-=x x y ，266262-+-=x x y . 12.〔2005北京〕：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与x 轴交于点A ，抛物线通过O 、A 两点。