《油藏数值模拟基础》第三章 差分方程组的建立
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基本渗流微分方程的一般式：
l kkrl l
pl
l
gD
ql
t
l sl
分析地层内流体压力、饱和度随时间的变化状况 研究流体在油层中的渗透率特征
非线性偏微分方程：
解析求解 (Analytical Solution) 数值求解 (Numerical Solution)
有限差分法(FDM) 有限元法(FEM) 边界元法(BEM)
连续问题 离散化
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第三章 差分方程组的建立
第一节 基本有限差分（离散化概念 差商） 第二节 差分方程组的建立 第三节 网格排列方式及其系数矩阵 第四节 差分方程组的稳定性分析 第五节 边界条件的处理
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第三章 差分方程组的建立
第一节 基本有限差分（离散化概念 差商） 第二节 差分方程组的建立 第三节 网格排列方式及其系数矩阵 第四节 差分方程组的稳定性分析 第五节 边界条件的处理
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二、网格系统
1、块中心网格系统
j
I=5
J=4
4
3
2
1
12 3 45 i
实质：将研究区域剖分成小 块（各块的大小可以 不同），以块的几何 中心作为节点。
适用于定流量边界条件
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二、网格系统
1、块中心网格系统——网格位置表示方法 ① 节点位置
本节点（i,j） 邻节点：左（i-1,j）
右（i+1,j） 上（i,j+1） 下（i,j-1）
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一、离散化的概念
1、空间离散
（3）三维问题 研究对象：厚油层，平面、垂向上不均质，可模拟油田 规模的水驱、气驱 一般选三维笛卡尔网格系统，在x,y,z三个方向划分网格
Producer
Injector
Dy Dz
Dx
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一、离散化的概念
2、时间离散
定义：在所研究的时间范围内把时间离散成一定数量的 时间段（时间步长△t），在时间步长内进行求解。
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一、离散化的概念
离散化的背景
几何形状：边界不规则、非等厚、构造起伏等 储层参数：渗透率非均质与各向异性、孔隙度非均匀等 流体分布：流体性质差异、初始油气水分布等 开发过程：井网不规则、注采强度差异、非等温渗流等
离散化分类 ➢空间离散
➢时间离散
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一、离散化的概念
1、空间离散
定义：将连续的油藏空间研究区域按一定的网格系统 剖分成有限个单元或网格。
笛卡尔坐标系下的记号
i, j, k — x, y, z 方向网格节点的标号
Dx, Dy, Dz — x, y, z 方向网格步长
xi , y j , zk —节点 i, j, k 的坐标 xi i Dx y j j Dy zk k Dz
Dt —时间步长 n —时间步数的标号，整数 tn — n 步时间段的时间 tn n Dt
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二、网格系统
2、点中心网格系统
j
I=6
5
J=5
4
3
2
1
i
123456
实质：把所研究的区域剖 分成小块（各块的大小可 以不同），然后以网格线 的交点作为节点
适用于定压条件
网格表示方法与块中心相同
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二、网格系统
3. 两种网格系统的比较 相同点：差分方程相同
不同点： 离散点的数目不同 块中心网格：定流量边界 边界的处理不同 点中心网格：定压边界
影响时间步长大小的因素： ➢ 所研究的油藏问题所经历的时间长短
开发时间长， △t可大些，反之可小些
➢ 所研究油藏问题的性质
初期可行性方案， △t可大些 历史拟合时， △t可取不等距的
➢ 解的稳定性及准确性要求
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二、网格系统
离散化
块中心网格 ➢ 空间离散 → 单元（网格）
点中心网格 ➢ 时间离散 → 时间步长
➢ 油、水井附近网格要密些，油藏边缘可稀些 ➢ 井之间一定要间隔一个网格以上 ➢ 研究开发初期的可行性方案时，网格可粗些 ➢ 当历史拟合、动态预测时网格要密些
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一、离散化的概念
1、空间离散
（2）二维问题 ②剖面问题（x-z）
(a) 层状油藏的垂向波及效率
(b) 剖面上的水驱效率
(c) 模拟气驱的过程、重力的影响等
节点（i,j）的边界
左 i-1/2
右 i+1/2
上 j+1/2
下 j-1/2
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二、网格系统
1、块中心网格系统——网格位置表示方法
② 坐标位置
本节点（xi,yj） 邻节点：左（xi-1,yj）
右（xi+1,yj） 上（xi,yj+1） 下（xi,yj-1）
节点（xi,yj）的边界 左 xi-1/2 右 xi+1/2 上 yj+1/2 下 yj-1/2
（2）二维问题 ①平面问题（x-y）
等距离网格
Dxi Dx Dyi Dy Dx Dy
不等距网格
Dxi Dx j Dyi Dy j
求解下列问题： (a) 计算水驱或气驱的平面采收率 (b) 计算平面上剩余油的分布情况 (c) 对比各种开发方案及调整方案
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一、离散化的概念
1、空间离散
（2）二维问题 ①平面问题（x-y）
空间离散的影响因素： 油藏的空间形状（一维、两维、三维） 油藏的空间大小（网格划分的大小） 研究问题的需要（精度、油藏非均质性、局部加密） 计算机的速度和容量
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一、离散化的概念
1、空间离散
（1）一维问题
Dz
一维油藏模型空间离散网格
单管模型实验
一维垂向重力驱替
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一、离散化的概念
1、空间离散
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第一节 基本有限差分
数值求解：将实际油藏的连续求解区域划分成有限个离散点，通过求 解离散点上的压力、饱和度来近似实际油藏问题的解。
离散化：将连续的问题离散成有限个离散点并可进行数值计算的方法。
数学型
• 连续问题 • 偏微分方程 • 偏导数 • 解析解
有限差分法 连续问题离散化
数值模型
离散问题 差分方程 差商 数值解