点集拓扑学期末考试一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③ 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 就是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂就是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 就是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂就是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界就是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界就是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部就是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 就是一个拓扑空间,A ,B 就是X 的子集,则下列关系中错误的就是( ) ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 就是一个拓扑空间,A ,B 就是X 的子集,则下列关系中正确的就是( ) ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 就是一个拓扑空间,A ,B 就是X 的子集,则下列关系中正确的就是( ) ① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 就是一个离散拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中正确的就是( ) ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 就是一个平庸拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中不正确的就是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 就是一个平庸拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中正确的就是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑就是( ) ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 就是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 就是X 的拓扑,则( )就是T 的基、① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基、① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集就是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝( ) ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中,下列集合就是闭集的就是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,下列集合就是开集的就是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数就是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 就是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既就是开集又就是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 就是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 就是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既就是开集又就是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 就是实数空间,Z 就是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯就是拓扑空间126,,,X X X 的积空间、1P 就是X 到1X 的投射,则1P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯就是拓扑空间126,,,X X X 的积空间、2P 就是X 到2X 的投射,则2P 就是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯就是拓扑空间126,,,X X X 的积空间、3P 就是X 到3X 的投射,则3P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯就是拓扑空间126,,,X X X 的积空间、4P 就是X 到4X 的投射,则4P 就是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯就是拓扑空间126,,,X X X 的积空间、5P 就是X 到5X 的投射,则5P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯就是拓扑空间126,,,X X X 的积空间、6P 就是X 到6X 的投射,则6P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 与2X 就是两个拓扑空间,12X X ⨯就是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 就是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 就是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集就是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 就是平庸空间,则积空间12X X ⨯就是( )① 离散空间 ② 不一定就是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 就是离散空间,则积空间12X X ⨯就是( )① 离散空间 ② 不一定就是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 就是连通空间,则积空间12X X ⨯就是( )① 离散空间 ② 不一定就是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 就是连通的; (Ⅱ){0}R -就是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -就是连通的 (Ⅳ)2R 与R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集就是___________、 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 就是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 就是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 就是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 就是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →就是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它就是一个单射,并且就是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 就是一个 、答案:嵌入19、:f X Y →就是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它就是一个满射,并且Y 的拓扑就是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 就是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 就是两个拓扑空间,:f X Y →就是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 就是Y 中的一个开集,则称映射f 就是一个 答案:开映射21、设,X Y 就是两个拓扑空间,:f X Y →就是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 就是Y 中的一个闭集,则称映射f 就是一个 答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 就是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 就是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 就是一个 答案:不连通空间25、设Y 就是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也就是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质就是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质就是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 就是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 就是一个 ;答案:不连通空间、三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都就是连续映射( ) 答案:√理由:设X 就是离散空间,Y 就是拓扑空间,:f X Y →就是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都就是开集,从而1()f A -就是X 中的开集,所以:f X Y →就是连续的、2、设12, T T 就是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定就是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 就是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T ２,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (２)对任意的∈B A ,T 1⋂T ２,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２,由于T 1, T 2就是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T ２; (３)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2就是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２; 综上有T 1⋂T ２也就是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都就是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →就是任一满足条件的映射,由于Y 就是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别就是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续、4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都就是开集, 所以{}p 就是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=、5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 就是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠、6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 就是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =、7、设X 就是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√ 理由:设X 就是一个不连通空间,设,A B 就是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 就是X 的一个闭子集,同理可证A 就是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=、8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 就是一个不连通空间( )√ 理由:这就是因为若设A 就是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都就是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 就是隔离子集,所以拓扑空间X 就是一个不连通空、五.简答题(每题4分)1、设X 就是一个拓扑空间,,A B 就是X 的子集,且A B ⊂、试说明()()d A d B ⊂、 答案:对于任意()x d A ∈,设U 就是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂、2、设,,X Y Z 都就是拓扑空间、:f X Y →, :g Y Z →都就是连续映射,试说明:g f X Z →也就是连续映射、答案:设W 就是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →就是一个连续映射,从而1()g W -就是Y 的一个开集,由:f X Y →就是连续映射,故11(())f g W --就是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=就是X 的开集,所以:g f X Z →就是连续映射、3、设X 就是一个拓扑空间,A X ⊂、试说明:若A 就是一个闭集,则A 的补集A '就是一个开集、 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 就是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '就是x 的一个邻域,这说明A '就是一个开集、4、设X 就是一个拓扑空间,A X ⊂、试说明:若A 的补集A '就是一个开集,则A 就是一个闭集、 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '就是一个开集,所以A '就是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 就是一个闭集、5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T 、答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T 、 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T 、 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T 、 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T 、 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T 、 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T 、 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →就是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射、则()f X 就是Y 的一个连通子集、证明:如果()f X 就是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于就是11(),()f A f B --就是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --就是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾、从而()f X 就是Y 的一个连通子集、 ………………………… 8分2、设Y 就是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 与B 就是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂、证明:因为B A ,就是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,就是子空间Y 的开集、 又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 就是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个就是空集、 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 就是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 与B 就是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂、证明:因为B A ,就是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,就是子空间Y 的闭集、 又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 就是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个就是空集、 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 就是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也就是X 的一个连通子集、证明:若Z 就是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃、因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 就是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾、故Z 也 就是X 的一个连通子集、 …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ就是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族、如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ就是X 的一个连通子集、证明:若Y γγ∈Γ就是X 的一个不连通子集、则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ就是连通的、 ………………………………………… 8分6、设A 就是拓扑空间X 的一个连通子集,B 就是X 的一个既开又闭的集合、证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂、证明:若B X =,则结论显然成立、下设B X ≠,由于B 就是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂就是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂、………… 8分7、设A 就是连通空间X 的非空真子集、 证明:A 的边界()A φ∂≠、 证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '就是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 就是X 的非空真子集,所以A 与A '均非空,于就是X 不连通,与题设矛盾、所以()A φ∂≠、 ……………………………………………… 8分。