绵阳市高2015级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DBBCA CDDCA BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．9314．-515．116．①④16题提示：③设|BM |=|BO |=m ，|CN |=|CO |=n ， 由①得|PM |=|PN |=9．由题知圆E 与x 轴相切，于是圆E ：x 2+(y -2)2=4是△PBC 的内切圆， 根据公式S △PBC =)(21c b a r ++(其中r 为内切圆半径，a ，b ，c 为△PBC 的边长)得：21|BC |•y 0=21×2×2(|PM |+|BO |+|CO |),即21(m +n )×9=2(9+m +n )，解得536=+n m ，故S △PBC 5162953621=⨯⨯=．④同③可得21(m +n )•y 0=2(y 0+m +n )， 解得4400-=+y y n m ，故S △PBC ]8)4(16)4[(24421)(21000200+-+-⋅=-⋅=+=y y y y y n m ≥32． 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 31tan 21tan ==，∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ， 在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=AAA CBC B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-，………3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1．……………………………………4分 若tan A =-1，可得tan B =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分 故tan A =1，得A =4π．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，可得sin B =2cos B ，sin C =3cos C ， ……………………………………………7分 结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1， 可得sin B =52，sin C =103， (负值已舍) ……………………………………9分在△ABC 中，由BbA a sin sin =，得b =a a a A B 51022252sin sin ==， …………11分于是S △ABC =21ab sin C =253103510221a a a =⨯⨯， ∴253a =15，解得a =5．………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25，∴ 879.7249.845554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， ……………………………4分∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关．……5分 （Ⅱ）根据题意，抽取的9人中，年轻人有=⨯960406，中老年人=⨯960203人． 于是X =0，1，2，3，∴ 8420)0(3936===C C X P ，8445)1(391326===C C C X P ， 8418)2(392316===C C C X P ，841)3(3933===C C X P ， ∴ X 的分布列为：………………………………………………………10分 ∴ X 的数学期望18413841828445184200)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ，∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分∴ 数列{b n }是以b 1=log 44=1为首项，1为公差的等差数列，∴ b n =1+(n -1)×1=n ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ，于是2)1(+=n n S n ， ………………………………6分 于是(-1)n kb n <2S n +n +4等价于(-1)n kn <n 2+2n +4， 即等价于(-1)n 24++<nn k ．……………………………………………………7分 ①当n 为偶数时，原式变为24++<nn k ， ∵ 24++n n ≥242+⋅n n =6（当且仅当n =n4，即n =2时“=”成立）∴ n =2时，24++nn 取最小值6， 故k <6． …………………………………………………………………………9分②当n 为奇数时，原式变为2)4(-+->nn k ，令函数f (x )=2)4(-+-x x ，x >0，则222)2)(2(4)(xx x x x x f +--=-='， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f ，当x ∈(2，+∞)时，0)(<'x f ， 即f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 由f (1)=-7<f (3)=319-，即f (n )≥319-(n 为奇数)， ∴ k >319-． ……………………………………………………………………11分 综上所述，k 的取值范围为(319-，6)． ……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，∴ =DP (0，y 0)，DM =(x -x 0，y )，由DP =，得0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，∴ 曲线C 的方程为：14822=+y x ． …………………………………………4分（Ⅱ）①当直线AB 斜率不存在时，x 轴平分∠AQB ，x 轴上所有点都满足条件． ………………………………………………5分 ②当直线AB 斜率存在时，假设存在满足题意的点Q (x Q ，0) ． 可设方程为y =k (x -2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组得：⎩⎨⎧=-+-=，，082)2(22y x x k y 整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-8=0， ∴ x 1+x 2=12822+k k ，x 1x 2=128822+-k k ， …………………………………………8分若存在点Q (x 0，y 0)，使得∠AQO=∠BQO ，即k QA +k Q B =0， ∴ k QA +k Q B =02211=-+-QQ x x y x x y ，……………………………………………10分将y 1=k (x 1-2)，y 2=k (x 2-2)代入整理得： 2 x 1x 2-(x Q +2)(x 1+x 2)+x Q =0，即12161622+-k k -(x Q +2)×12822+k k +4x Q =0，化简得x Q =4，故此时存在点Q (4，0)，使得∠AQO=∠BQO ．……………………………12分 21．解：（Ⅰ）由已知可得a e x f x -=')(．当a <0时，)(x f '>0，∴ )(x f 在R 上单调递增，且当+∞→-∞→)(x f x ，，不合题意．当a =0时，11)(->-=x e x f ，而-1<1-2ln2，不合题意．…………………3分 当a >0时，由0)(>'x f 解得a x ln >，由0)(<'x f 解得a x ln <， ∴ )(x f 在(∞-，a ln )上单调递减，在(a ln ，+∞)上单调递增， ∴ )(x f min =)(ln a f =1ln --a a a ．要使)(x f ≥2ln 21-恒成立，则须使1ln --a a a ≥2ln 21-恒成立， 令1ln )(--=a a a a g ，则a a g ln )(-='，显然当0<a <1时，)(a g '>0，当a >1时，)(a g '<0， 于是函数)(a g 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减， ∵ )1(g =0，)2(g =2ln 21-，∴ a 的最大值是2．……………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a =2，2)(-='x e x f ，故03)2)(21(03)()21(<++--⇔<++'-x e k x x x f k x x ．令h (x )=3)2)(21(++--x e k x x ，(x >1，k ∈N *)存在x 0>1，使得h (x 0)<0成立，即h (x )min <0．………………………………8分 又x e k x x h )21(21)(-+='， 当k =1时，)(x h '>0，h (x )在(1，+∞)上单调递增，而h (1)=521+-e 不合题意． 当k ≥2时，由)(x h '>0解得x >2k -1，由)(x h '<0解得1<x <2k -1，即h (x )在(2k -1，+∞)上单调递增，在(1，2k -1)上单调递减， ∴ h (x )min =h (2k -1)=322112++--k e k ． ……………………………………10分 令=)(k ϕ322112++--k e k ， 则02)(12<+-='-k e k ϕ， ∴ )(k ϕ在)2[∞+，上单调递减，∵ )(k ϕ≤0721)2(3<+-=e ϕ，∴ 正整数k 的最小值为2．……………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将直线l 的参数方程消去参数得31=+xy ， 即l 的普通方程为013=--y x ．将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y +1=0 ．…………5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==，，t y t x 23121代入C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0中，整理得04)132(2=++-t t ，由韦达定理：41322121=⋅+=+t t t t ，，……………………………………8分16534)(2)(11112212122122212221222122+=-+=⋅+=+=+t t t t t t t t t t t t PB PA故165341122+=+PBPA． …………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3<x ≤21， 当x >21时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <35，综合得21<x <35，所以f (x )<6的解集是)353(，-． ………………………………………………5分（Ⅱ）当x >21时，f (x )=(2+m )x +1．当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩⎨⎧≤-≥+，，0202m m解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值21m +2．y =-x 2+x +1在x =21时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根，则21m +2<45，解得m <-23．综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-23．……………………………………10分。