22
定理(第二充分条件)
设 f ( x)在 x0 处具有二阶导数, 且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则 (a) 当 f ( x0 ) 0, f ( x)在 x0 处取得极大值, (b) 当 f ( x0 ) 0, f ( x)在 x0 处取得极小值.
23
求极值的步骤:
第一章 极限与连续
极限存在准则
单调有界必有极限
夹逼定理
lim sin x 1
两类重要极限
x0 x
lim (1
x
1 )x x
e
无与穷小性质有无限穷个小无与穷有小界的量和的,积积仍仍是是无无穷穷小小 无穷大比较 (高阶, 低阶,同阶, 等价, k 阶)
1
常用等价无穷小
ex 1 ~ x sinx ~ x tan x ~ x ln(1 x) ~ x 1 cos x ~ x2
x(ex 1) e x 1 x
lim
x0
e
x
1 xe ex 1
x
1
lim
x0
xe x ex 1
x 0时，ex 1 ~ x
1 lim e x
上 式 e x0 e2
31
第四章 不定积分
基本概念
(原函数,不定积分
f
( x)dx
)
基本性质(与求导, 微分运算间关系;线性可加性)
积
分 法
换 分部 元积 积分 分法 法第 第二 一类 类换 换元 元((三凑角微代分换法),倒代换) 有理函数的积分可四化种为基有本理形函式数的的积积分分
32
例
x2 1 x4 1 dx
分子分母同除以 x 2
解
原式
1
1 x2 dx
x2
1 x2
d( x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
1 2
arctan
x
2 1 2x
C
33
例
x
1 4
1
dx
1 2
(
x
2
1) ( x x4 1
2
1)
dx
x0
x0
lim arctan 1 , lim arctan 1 .
x0
x
2 x0
x2
一类需要注意的极限
lim
x2 1 1,
lim
x2 1 1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx x
x x
5
连续的定义
左xlim连x0 f续( x、) 右f连( x续0 )
间断点的分类
第一类间断 第二类间断
(可去型, (无穷型,
跳跃型) 振荡型)
极值存在的充分条件
函数的凹凸性 (拐点,凹凸性和判别法)
函数的最大最小值
函数的渐近线
(水平,垂直)
17
带Peano型余项的泰勒公式
设 f ( x) 在含 x0 的区间(a, b)内有 n 阶连续 导数, 则对于 x (a, b), 有
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
解 : 可知 x 0，x 1是可能的间断点. (1) 在x 0处，
lim y 1 sin2(1)，lim y 1 sin2(1)
x0
x0
因在x 0处的左右极限都存在,但不相等，
所以x 0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.
9
(2) 在x 1处，
1
lim
x1
y
lim[
x1
2
x 1
1
1
1 x2
dx 1
1
1 x2
dx
2
x2
1 x2
2
x2
1 x2
1
1
1 2
d( x ) x
(x 1 )2
2
1 2
d( x ) x
(x 1 )2
2
x
x
1
x 1 arctan x
22
2
1 2
1 22
ln
x x
1 x 1
x
2 2
C ( x 304 )
例 求 max{1, x }dx.
12
第二章 导数与微分
导数
定义导左数导存数在f的( x0充), 要 右条 导件 数
f(
几何意义
切线斜率k
f ( x0 )
x0
)
可导性与连续性的关系 可导 连续
微分
求微分
dy
f ( x0 )dx
可导与微分的关系
可导 可微
13
按定义求导
求导数方法
复合函数求导
隐函数,
参数方程求导
20
洛必达法则
基本类型： 变型: 法则：
0 型, 型
0
0 , , 00, 1 , 0型
lim f ( x)
f ( x)
lim
.
g( x)
g( x)
注 (1) 当上式右端极限存在时, 才能用此法则, (2) 在求极限过程中,可能要多次使用此法则, (3) 在使用中, 要进行适当的化简, (4) 在使用中, 注意和其它求极限方法相结合.
x 1,
x = –1为第一类可去间断点
lim f ( x) ,
x 1
x = 1为第二类无穷间断点
x 0, lim f ( x) 1, lim f ( x) 1.
x 0
x 0
x = 0为第一类跳跃间断点
8
1
例
求y
2x
1
1 sin( x 1)sin 1 的间断点, x1
2x 1
并判断其类型.
x 1, 已知函数在 x1
2.
lim
x
x
x2
ln( 1
1 x
)
3.求 极 限
ex sin x x(1 x)
(1) lim x0
x3
1
(2) lim (e x 1 x)ln x x0
26
计算题解答
1. 由连续性, 有 lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
闭区间连续函数的性质
最大,最小值定理 有界性
介值定理, 零点定理
6
例 求 f (x)
1
x
的 间 断 点, 并指出其类型.
1 e1 x
解 当x 0, x 1时,函数无定义,是函数的间断点.
x 0,
由于
lim
x0
f
(x)
lim
x0
1
x
1 e 1x
,
所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
x 1,
由于
lim f
x 1
(x)
lim
x1
1
x
1 e 1x
0
lim f
x 1
(x)
lim
x1
1
x
1 e 1x
1
所以 x 1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. 7
例求
的间断点,并判别其类型.
解 x 1, x 1, x 0是间断点,
x 1,
lim
x 1
(1 x)sin x 1 sin1, x ( x 1)( x 1) 2
x
lim e x
x0
lim
x0
cos x 3x2
1
lim
x0
ex 2x
1
1 1 1 62 3
30
1
(2) lim (ex 1 x)ln x (00 ) x0
ex 1
ln( e x 1 x ) lim
lim e x 1 x x0 1
e x0 ln x e
x
e e e lim x0
~ 当 x 0, etanxsin x 1 tan x sin x,
故原式
1 2
lim
x0
tan x sin x e (e sin x tan xsin x 1)
1
tan x sin x
1
2
lim
x0
esin
x
(tan
x sin x)
2
4
两对重要的单侧极限
1
1
(a 1) lim a x 0, lim a x ,
f
( x0 2
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( 2
x0
)
(
x
x0
)n
o[(
x
x0
)n
].
18
常用函数的麦克劳林公式
sin x x x3 x5 (1)n x2n1 o( x2n2 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n o( x2n )
x ( , )
则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线 y a.
(b) 垂直渐近线 若函数 f ( x)满足
lim f ( x) ,
x x0 ( x0 , x0 )
则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线 x x0.
25
计算题
1. 设
y
f (x)
2 1 x2
ax b
x 1处可导, 确定 a, b.
2x
1 1
sin( x
1) sin
x
1
] 1
1 3
即在x 1处函数的左右极限都存在且相等，
所以x 1是函数的第一类间断点,且是可去间断点.
10
例 设函数
a (1 cos x) x2