（A） 667 （ B） 668
3. 等差数列 an 2n 1, bn
减数列”） ( 三 ) 、等差中项的概念：
（ C） 669
（D） 670
2n 1 ，则 a n 为
bn 为
（填“递增数列”或“递
1 / 11
定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， an = ( 1)n =
1,n
2k 1 (k
Z) ；
1,n 2k
③不是每个数列都有通项公式。例如， 1， 1.4 ，1.41 ， 1.414 ，……
（ 3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集
N （或它的有限子集）的函数 f ( n) 当自变量 n 从 1 开始
( 十 ). 利用 an
S1
(n 1)
求通项．
Sn Sn 1 (n 2)
1. 数列 { an} 的前 n 项和 Sn n2 1 ．（ 1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 { an} 是等差数列吗？（ 3）你能写出数列
{ an} 的通项公式吗？
4 / 11
2. 设数列
{ an } 的前 n 项和为
D
． 75
( 四 ) 、等差数列的性质：
（ 1）在等差数列 an 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（ 2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（ 3）在等差数列 an 中，对任意 m ， n N ， an am ( n m) d ， d an am (m n) ； nm
2. 一个等差数列前 20 项和为 75，其中奇数项和与偶数项和之比 1：2，求公差 d
3. 一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 25 ，则它的首项与公差分别是
2
( 七 ) . 对与一个等差数列， Sn , S2 n Sn , S3 n S2 n 仍成等差数列。
例： 1. 等差数列 { an} 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（
高中数学：数列及最全总结和题型精选
一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作
an ，在数列第一个位置的项叫第
的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 an ；
1 项（或首项） ，在第二个位置
数列的一般形式： a1 ， a2 ， a3 ，……， an ，……，简记作 an 。
a3 12， S12 0， S13 0 ①求出公差 d 的范围， ②指出 S1， S2， ， S12 中哪一个值最大，并说明理由。
3．（ 02 上海）设｛ an｝（ n∈ N*）是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，则下列结论错误．．的是
（）
A. d＜ 0 B. a7＝ 0 C. S9＞ S5
5．（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列｛ an｝的前 n 项和，若 S3 ＝ 1 ，则 S6 ＝
S6 3
S12
A． 3 10
B． 1 3
C
．1
8
( 八 ) ．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
D． 1 9
a n 1 an d (常数）（ n N ） an 是等差数列
②中项法：
2an 1 an an 2 （ n N )
2 / 11
（ 1）若项数为偶数，设共有
2n 项，则① S 偶 S 奇 nd ； ② S奇 S偶
an ； an 1
（ 2）若项数为奇数，设共有
2n 1项，则① S 奇 S 偶 an a中 ；② S奇 S偶
n。 n1
1. 一个等差数列共 2011 项，求它的奇数项和与偶数项和之比 __________
依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ……， f (n) ，……．通常用 an 来代替 f n ，其图象是 一群孤
立点 。
（ 4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系
分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
）
_______
A.130
B.170
C.210
D.260
2. 一个等差数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为
。
3．已知等差数列 a n 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为
4. 设 Sn 为等差数列 a n 的前 n 项和， S4 14， S10 S7 30，则 S9 =
2 A．
3
1
1
2
B．
C.
D.
3
3
3
8. （ 2009 陕西卷文）设等差数列 an 的前 n 项和为 sn , 若 a6 s3 12 , 则 an
9．（ 00 全国）设｛ an｝为等差数列， Sn 为数列｛ an｝的前 n 项和，已知 S7＝ 7，S15＝75， Tn 为数列｛ Sn ｝的 n
前 n 项和，求 Tn。 ( 六 ) . 对于一个等差数列：
D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
n 4．已知数列 an 的通项
n
98 （ n N ），则数列 an 的前 30 项中最大项和最小项分别是
99
5. 已知 { an } 是等差数列，其中 a1 31 ，公差 d 8。
（ 1）数列 { an } 从哪一项开始小于 0？
（ 2）求数列 { an } 前 n 项和的最大值，并求出对应 n 的值．
D.
4. 已知一个数列 { an } 的前 n 项和 sn 2 n2 ，则数列 { a n} 为（ ）
A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列
D.
5. 已知一个数列 { an } 满足 a n 2 2 a n 1 an 0 ，则数列 { a n } 为（ ）
A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列
Sn
2
=2n
，求数列
{ a n} 的通项公式；
3. （ 2010 安徽文）设数列 { an} 的前 n 项和 Sn n2 ，则 a8 的值为（ ）
（ A） 15
(B) 16 (C) 49
（ D） 64
4、 2005 北京卷）数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an 1 { an} 的通项公式．
2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数
列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d 表示。用递推公式表示为 an an 1 d (n 2)
或 an 1 an d (n 1)
例：等差数列 an 2 n 1 ， an a n 1
( 二 ) 、等差数列的通项公式： an a1 (n 1)d ；
D.
无法判断 无法判断 无法判断 无法判断 无法判断
6. 数列 an 满足 a1 =8， a 4 2，且 a n 2 2 a n 1 an 0 （ n N ）
3 / 11
①求数列 an 的通项公式；
7．（ 01 天津理， 2）设 Sn 是数列 { an} 的前 n 项和，且 Sn=n2，则 { an} 是（
1 Sn ，n=1， 2，3，……，求 a2，a3 ，a4 的值及数列
3
三、等比数列
等比数列定义
一般地， 如果一个数列从第 ．二．项．起．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ．．，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q 表示 (q 0) ，即： an 1： an q (q 0)
A． 13
B
． 35
C
． 49
D
． 63
3. （ 2009 全国卷Ⅰ理） 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S9 72 , 则 a2 a4 a9 =
4. 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的.12 项
C.11 项
（ a1
d ）n 。
2
2
递推公式： Sn
(a1 a n )n 2
(a m an (m 1) )n 2
例： 1. 如果等差数列 an 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 ... a7
（ A） 14
（ B） 21
（ C）28
（ D） 35
2. （ 2009 湖南卷文）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2 3 ， a6 11 ，则 S7 等于 ( )
a n 是等差数列
③通项公式法：
an kn b ( k, b为常数 ) an 是等差数列 ④前 n 项和公式法： Sn An 2 Bn ( A, B为常数 ) an 是等差数列
例： 1. 已知数列 { a n} 满足 an an 1 2 ，则数列 { an } 为 （ ）
A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列
说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d 0为递增数列， d 0 为常数列， d 0 为递减数列。
例 ： 1. 已知等差数列 an 中， a 7 a9 16， a4 1，则 a12 等于（
）
A．15 B ．30 C ．31 D ．64
2. { an} 是首项 a1 1 ，公差 d 3的等差数列，如果 an 2005，则序号 n 等于