数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a34）1a +求数列a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 1a =（4（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（1（2（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展21（1 (2)23已知{n a 是首项为１的正项数列，并且11n n n n ++，则它的通项公式n 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么7 数列{}n a 满足()11n n p S a -=-，其中p 为正实数，12n S a a =++…()*n a n N +∈(1)证明：{}n a 为等比数列，并求出它的通项；(2)数列{}n b 中，11b =，1n n n b b a +=+，求{}n b 的通项公式数列求最值的方法（一）化为函数方法转化为耐克函数（1）如果数列{}n a 的通项公式是n a =24n n n ++，此数列的哪一项最小？并求其最小值（2）如果数列{}n a 的通项公式是n a =2156nn +，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为分式函数（3（4如果数列(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1的自然数n ，不等式12log (1)123n a a a >++恒成立求a 的取值范围？（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法（1）恒成立，（2）m a ≤恒（3*N ，有n m a a ≤（1） 求n a 的通项公式（2） 求n S 的通项公式（3） 说说n 为何值时，n S 取得最小值？数列的求和（一）倒序相加法：（1（2） S（二） 求和：12（三） 公式求和法（1）数列{}n a 中，148,2a a ==且()*2120n n n a a a n N ++-+=∈，1234n S a a a a =++++…n a +，求n S ．（2（3（1（2+++…（3） )(,32114321132112111*N n n ∈+++++++++++++++（4（四）. 1. （1）112（2） 1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n2.奇偶分组（3）已知()()654n nn nan⎧-⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数求数列{}n a的前n项和．3（4）-4.（5（6数列的极限5个“三”三个定义极限（1）∞→n lim C =C （C 为常数）;（2）∞→n lim n 1=0;（3）∞→n lim q n =0（|q |＜1）n n n （1n lim →n(2)n（3若31n a →∞++三个待定形1）00型比较 2213lim 12n nn n n→∞++和2213lim 14n n n n n →∞++2）∞∞型 比较223）∞→n limn →∞n →∞S =例1（1）求证数列{}n a 不是等比数列，并求该数列的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n a 的前n 2项和为n S 2，若n n n a S ka 222)1(3•≤-对任意*∈N n 恒成立，求k 的最小值.例2定义1x （1（2（3）设函数x x x f 4)(2+-=，对（1）中的数列}{n a ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n 对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．例3设满足条件)(2:*12N n a a a P n n n ∈≥+++的数列组成的集合为A ，而满足条件)(2:*12N n a a a Q n n n ∈<+++的数列组成的集合为B .（1）判断数列n a a n n 21:}{-=和数列n n n b b 21:}{-=是否为集合A 或B 中的元素？（2）已知数列3)(k n a n -=，研究}{n a 是否为集合A 或B 中的元素；若是，求出实数k 的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知*231(1)log (,)i n a n i Z n N =-⋅∈∈，若}{n a 为集合B 中的元素，求满足不等式60|2|<-n a n 的n 的值组成的集合.例类数列{2=n x 时}{n x （1}{n a 是周期为6（2① 若0>n a ，试判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；② 若01<+n n a a ，试判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；例5已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。

（1）求1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；（3）求数列{}n c 的通项公式。

例6如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．（1）若（2（3(nf=)A ==A =A （1（2*N ，n p 8q +总成立？若存在，求出（3） 若常数t 满足0t ≠且1t >-，1231~()()().....()()-=n nn n n n n n d t C C C C C ，求1limnn n d d →∞+.(1)(2)c令a+1（1（2（3n挑战五S满足n =Sn（1（2（3{}n b挑战六（1（2: 数列n n b a =⋅23((1)(2)(3)(x、的实数(3)(n H比较挑战八已知函数()311223log ,(,),(,)1x f x M x y N x y x =-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2OP OM ON =+（O 为坐标原点）.（1）求证：12y y +为定值； （2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭*(2)n n ∈≥N ，，求1149lim49n n n n S S S S n ++→∞-+的值； （3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.挑战九本题共有满分 ……、12-n 11=c ，22=c （1（2（3）设（1（2（3）设正整数n挑战十一将数列{an} 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：①在数列{bn} 中，b1=1，对于任何n∈N*，都有（n+1）bn+1﹣nbn=0；②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；③．请解答以下问题：（1）求数列{bn} 的通项公式；（2）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）；（3）若关于x的不等式在上有解，求正整数k的取值范围。