专题四 第14题几何图形综合题(2016～2019.14)1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，P 为矩形ABCD 内一动点，且满足S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为________．第1题图2. 如图，边长为23的菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，且点E 是BC 的中点，连接BD ，交AE 于点F ，点M 是AD 上的一个动点，连接MF 、MC ，则MF ＋MC 的最小值为________．第2题图3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点M 是AB 的中点，CN ＝14CD ，P 是直线AC 上的一点，则|PM －P N |的最大值为________．第3题图4.如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD ＝60°，点E 、F 在对角线AC 上(点E 在点F 的左侧)，且EF ＝1，则DE ＋BF 的最小值为________．第4题图5. (2019西工大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE 、CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、P E ，则PD ＋PE 的最小值为________．第5题图6. 如图，已知四边形ABCD ，连接AC 、B D.若AB ＝AD ＝BD ，AC ＝27，∠BCD ＝30°，则BC 2＋CD 2＝________．第6题图7. (2018陕师大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD －12PC 的最大值为________．第7题图8. 如图，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝10 cm 2，S △BQC ＝20 cm 2，则阴影部分的面积为________cm 2.第8题图8. 如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，点E 是AD 上一动点(不与A 、D 重合)，点F 是CD 上一动点，且AE ＋CF ＝4，则△DEF 面积的最大值为________．第9题图10. 如图，O 为矩形ABCD 的对称中心，M 为BC 边上任一点，ON ⊥OM 且与CD 边交于点N .若AB ＝6，AD ＝4，则四边形OMCN 面积的最大值为________．第10题图11.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，△MCN的周长为8，则正方形ABCD的面积为________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB面积的最小值是________．第12题图13.如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一点，且P A⊥PB，连接AC、P C，则△P AC面积的最大值为________．第13题图14.如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝42，则四边形ABCD 面积的最小值是________．第14题图参考答案1.41【解析】设△ABP中AB边上的高是h.∵S△P AB＝13S矩形ABCD，∴12AB·h＝13AB·AD，∴h＝23AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如解图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2＋2＝4，∴BE＝AB2＋AE2＝52＋42＝41，即P A＋PB的最小值为41.第1题解图2.27【解析】如解图，作点F关于AD的对称点N，连接CN，交AD于点M，则CN的长度即为MF＋MC的最小值．∵AE⊥BC，点E是BC的中点，四边形ABCD为菱形，∴CE＝BE＝3，∴cos∠ABC＝BEAB＝12，∴∠ABC＝60°，∴AE＝3，∠EBF＝30°，∴EF＝1，∴AF＝2＝AN，∴EN＝5，在Rt△CEN中，CN＝CE2＋EN2＝27.第2题解图3.13【解析】如解图，作点M关于直线AC的对称点M′，连接M′N，并延长与直线AC交于点P′，连接P′M，任意在直线AC上取一点P，连接PM，PN，PM′，有PM＝PM′，则PM－PN＝PM′－PN≤P′M′－P′N＝M′N，故M′N为|PM－PN|的最大值．在正方形ABCD中，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AB＝AD＝DC＝BC＝4，∴△MAM′为等腰直角三角形，又AM＝BM＝12AB＝2，则有AM′＝AM＝2，且M′D＝2，又CN＝1，则有DN＝3，在Rt△M′DN中，根据勾股定理得M′N＝M′D2＋DN2＝13，则|PM－PN|的最大值为13.第3题解图4. 10 【解析】如解图，作DM ∥AC ，连接MF ，且DM ＝EF ＝1，连接BM .∵DM ＝EF ，DM ∥EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE ＝FM ，∴DE ＋BF ＝FM ＋FB ≤BM ，根据两点之间线段最短可知，此时DE ＋FB 最短连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝3，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝3.∵DM ∥AC ，且AC ⊥BD ，∴∠MDB ＝90°.在Rt △BDM 中，BM ＝12＋32＝10，∴DE ＋BF 的最小值为10.第4题解图5. 413－4 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBE ＝90°，∵∠ABE ＝∠BCE ，∴∠BCE ＋∠CBE ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∴点E 在以BC 为直径的半圆上移动．如解图，设BC 的中点为O ，作半圆O ，作正方形ABCD 关于直线AB 对称的正方形ABGF ，则点D 的对应点是点F ，连接FO 交AB 于点P ，交半圆O 于点E ，则线段EF 的长即为PD ＋PE 的最小值．∵∠G ＝90°，FG ＝BG ＝AB ＝8，OE ＝4，∴OG ＝12，∴OF ＝FG 2＋OG 2＝413，∴EF ＝413－4, ∴PD ＋PE 的长度最小值为413－4.第5题解图6. 28 【解析】∵AB ＝AD ＝BD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠DAB ＝60°.如解图，把△ACD 绕点A 顺时针旋转60°得到△AEB ，连接CE ，则△ACE 是等边三角形，∴CE ＝AC ＝27，∵∠DAB ＋∠BCD ＝60°＋30°＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝360°－90°＝270°，∴∠ABE ＋∠ABC ＝270°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △BCE 中，BC 2＋BE 2＝CE 2＝28，∵BE ＝CD ，∴BC 2＋CD 2＝BC 2＋BE 2＝28.第6题解图7. 5 【解析】如解图，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，则CG ＝3，∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG＝BC PB ，∵∠PBG ＝∠PBC ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG PC ＝BG PB ＝12，∴PG ＝12PC ，∴PD －12PC ＝PD －PG ＝DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为DG ＝42＋32＝5.第7题解图8. 30 【解析】如解图，连接EF ，∵△ADF 与△DEF 同底等高，∴S △ADF ＝S △DEF ，∴S △ADF －S △DPF ＝S △DEF －S △DPF ，即S △EPF ＝S △APD ＝10 cm 2，同理可得S △EFQ ＝S △BQC ＝20 cm 2，∴S 阴影＝S △EPF ＋S △EFQ ＝30 cm 2.第8题解图9. 3 【解析】如解图，过点F 作FG ⊥AD ，交AD 的延长线于点G ，∵菱形ABCD 边长为4，∠BAD ＝60°，∴AD ＝CD ＝4，∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°，∴∠FDG ＝180°－∠ADC ＝60°.设AE ＝x ，∵AE ＋CF ＝4，∴CF ＝4－x ，∴DE ＝AD －AE ＝4－x ，DF ＝CD －CF ＝4－(4－x )＝x ，在Rt △DFG 中，FG ＝DF ·sin ∠GDF ＝32x ，∴S △DEF ＝12DE ·FG ＝12(4－x )×32x ＝－34x 2＋3x ＝－34(x －2)2＋3，∴当x ＝2时，△DEF 面积的最大，最大值为 3.第9题解图10. 233【解析】如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠C ＝90°，∵OF ⊥BC ，OE ⊥CD ，∴∠EOF ＝90°，∴∠EON ＋∠FON ＝90°，∵ON ⊥OM ，∴∠FOM ＋∠FON ＝90°，∴∠EON ＝∠FOM ，∴Rt △OEN ∽Rt △OFM ，∴NE MF ＝OE OF，∵O 为矩形ABCD 对角线的交点，AB ＝6，AD ＝4，∴OE ＝12AD ＝2，OF ＝12AB ＝3，∴NE ＝23MF .设BM ＝x ，如解图①，当0≤x ≤2时，MF ＝2－x ，NE ＝23(2－x )，S 四边形OMCN ＝S 矩形OECF ＋S △OMF －S △ONE ＝3×2＋12×3×(2－x ) －12×2×23(2－x )＝－56x ＋233，∵－56＜0，∴S 四边形OMCN 随x 的增大而减小，∴当x ＝0时，S 四边形OMCN 的最大值为233；如解图②，当2≤x ≤4时，MF ＝x －2，NE ＝23(x －2)，S 四边形OMCN ＝S 矩形OECF －S △OMF ＋S △ONE ＝3×2－12×3×(x －2) ＋12×2×23(x －2)＝－56x ＋233，∵－56＜0，∴S 四边形OMCN 随x 的增大而减小，∴当x ＝2时，S 四边形OMCN 的最大值为6；综上所述，四边形OMCN 面积的最大值为233.第10题解图11. 16 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ADN ＝∠C ＝90°.如解图，把△DAN 绕点A 顺时针旋转90°得到△BAG ，∴BG ＝DN ，AG ＝AN ，∠GAN ＝90°，∠ABG ＝∠ADN ＝90°，∴点G 在CB 的延长线上．∵∠MAN ＝45°，∴∠MAG ＝∠GAN －∠MAN ＝45°，∴∠NAM ＝∠MAG ，在△MAG 和△MAN中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AM ∠MAG ＝∠NAM AG ＝AN，∴△MAG ≌△MAN ，∴MG ＝MN ，而MG ＝MB ＋BG ＝MB ＋DN ，∴MN ＝MB ＋DN ，∵△MCN 的周长＝CN ＋CM ＋MN ＝CN ＋DN ＋CM ＋MB ＝CD ＋BC ＝8，∴CD ＝4，∴正方形ABCD 的面积为16.第11题解图12. 1 【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.易知当点E 到AB 的距离最小时，△AEB 的面积最小．如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，以点C 为圆心，CD 的长为半径作⊙C交CG 于点F ，此时△ABF 的面积即为△AEB 的面积的最小值．∵CG ＝AC ·BC AB ＝125，CF ＝CD ＝12AC ＝2，∴FG ＝CG －CF ＝125－2＝25，∴△AEB 面积的最小值为12AB ·FG ＝1.第12题解图13. 2＋1 【解析】如解图，以AB 为直径作⊙O 交线段AC 于点E ，连接PE 、OE 、BE ，由AC 为正方形的对角线及⊙O 的直径为AB ，可得△AEB 为等腰直角三角形，则点E 为AC 的中点，∴S △APC ＝2S △APE ，∴要使得△APC 的面积最大，只需△APE 面积最大即可．∵AE 长度为定值，∴只需使△APE 中AE 边上的高最大即可，∵AE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝2，OA ＝OB ＝OE ＝1，∴△AOE 是等腰直角三角形，∴在Rt △AOE 中，利用等面积法求得AE 边上的高为OA ·OE AE ＝1×12＝22，∴△APE 中AE 边上的高的最大值为1＋22，∴△APE 面积的最大值为12×(1＋22)×2＝22＋12，∴△P AC 面积的最大值为2×(22＋12)＝2＋1.第13题解图14. 83－8 【解析】∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形．如解图，过点B 、D 分别作AC 边上的高BE 、DF ，当且仅当E 、F 两点重合时，BE ＋DF 取得最小值，此时BE ＋DF ＝BD .∵AC 长度为定值，∴此时S 四边形ABCD 最小，作△BCD 的外接圆⊙O ，连接OB 、OD ，∵∠BCD ＝30°，∴∠BOD ＝60°，又∵OB ＝OD ，∴△BOD 为等边三角形，∴AC ＝AE ＋OE ＋OC ＝32BD ＋32BD ＋BD ＝42，∴BD ＝26－22，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×42×(26－22)＝83－8.第14题解图。