中考数学综合题专题复习【圆】专题解析一．教学内容:１．圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。

2. 主要定理:(1)垂径定理及其推论。

(２）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。

(3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。

（4)圆内接四边形的性质定理及其推论。

（5）切线的性质及判定。

（6)切线长定理。

(7)相交弦、切割线、割线定理。

(8)两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。

(9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。

（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。

(11)正n边形的有关计算。

二. 中考聚焦:圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：圆的知识在中考中所占的比例大,题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。

三. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪【典型例题】【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点１２０m以外的安全区域。

这个导火索的长度为１8cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全?分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以1２０m为半径的圆的外部，如图所示:O 120m 爆破中心 安全区域解： 导火索燃烧的时间为180920.()=s 相同时间内，人跑的路程为2065130⨯=.()m ∴>人跑的路程130120m m∴点导火索的人非常安全【例2】. 已知梯形ＡBCD 内接于⊙O ，A Ｂ∥ＣD,⊙Ｏ的半径为4，AB=6,CD=2，求梯形ABCD 的面积。

分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB 、ＣD 间距离,为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。

为了便于运用垂径定理,故作OE ⊥CD 于E,延长E Ｏ交AB 于F,证ＯF ⊥ＡB。

此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。

解：分两种情况讨论：(1）当弦AB 、C Ｄ分别在圆心O 的两侧时,如图（1)：过O 作OE ⊥CD 于E,延长E Ｏ交AB 于Ｆ 连ＯＣ、OB,则C Ｅ=ＤE ∵ＡB ∥ＣD ，OE ⊥C Ｄ∴OF ⊥AB ，即EF 为梯形AB ＣD 的高 在Rt △ＯE Ｃ中,∵E Ｃ＝1，OC ＝４ ∴=-=-=OE OC EC 22224115同理，OF =7∴=+=+EF OE OF 157 ()()()∴=++=+=+S ABCD 梯形1226157415741547 （2）当弦ＡB 、C Ｄ在圆心O 的同侧时，如图（2)：过Ｏ作OE ⊥ＣＤ于Ｅ，交A Ｂ于F 以下证法同（1)，略。

∴=-EF 157()()()∴=+-=-=-S ABCD 梯形1226157415741547 ()()∴+-梯形的面积为或ABCD 41574157【例3】. 如图，已知ＡB 为⊙O 的直径，P 是OB 的中点，求tanC ·ta ｎD 的值。

分析:为了求ta ｎC ·tan Ｄ的值，需要分别构造出含有∠C 和∠D 的两个直角三角形。

而ＡB 是直径,为我们寻找直角创造了条件。

连B Ｃ、ＢD,则得到Rt △ACB 和Ｒt △A ＤB 。

可以发现∠AC Ｄ=∠ABD ，∠ADC ＝∠ABC ，于是，可以把tanC ·ｔａnD 转化为tan tan ∠·∠···，则可求。

ABD ABC AD BD AC BC AD ACBD BC== 解:连结BC 、BD∵AB 是⊙O 的直径,∴∠A ＣB=∠ＡDB ＝9０° ∵∠ＡＣＤ＝∠ABD,∠ADC ＝∠A ＢC∴===tan tan tan tan C D ABD ABC AD BD AC BC AD ACBD BC·∠·∠··· 作ＡE ⊥ＣD 于E,作BF ⊥ＣＤ于Ｆ 则△A ＥC ∽△ＡDB ∴=AC AE ABAD∴AC ·AD ＝ＡE ·A Ｂ 同理，BD ·BC ＝BF ·A Ｂ∴==tan tan C D AE AB BF AB AEBF···∵△APE ∽△ＢPF ∴AE BF APBP=∵Ｐ为半径OB 的中点 ∴，∴AP BP AEBF==313 ∴t ａｎC ·ｔanD=3【例４】.如图，△是等边三角形，是⌒上任一点，求证：ABC D BC DB DC DA +=分析：由已知条件,等边△ABC 可得60°角,根据圆的性质,可得∠ＡDB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角形全等,从而转移线段DC 。

证明：延长DB 至点E ，使B Ｅ=ＤC,连结ＡE ∵△ABC 是等边三角形∴∠ＡCB=∠ABC=60°,AB ＝ＡC ∴∠A ＤＢ＝∠A ＣB=60°∵四边形ABD Ｃ是圆内接四边形 ∴∠ABE=∠ACD在△A ＥB 和△ADC 中，BE CD ABE ACD AB AC ===⎧⎨⎪⎩⎪∠∠∴≅∆∆AEB ADC ∴ＡE ＝ＡD ∵∠ADB=60°∴△ＡE Ｄ是等边三角形 ∴AD=D Ｅ＝D Ｂ+BE ∵BE=ＤC ∴ＤB+DC=DA说明：本例也可以用其他方法证明。

如： (1）延长DC 至F,使C Ｆ=ＢD,连结AF ，再证△ACF ≌△ＡBD ，得出ＡＤ＝DF,从而D Ｂ+CD＝DA 。

(２）在DA 上截取DG ＝ＤC ，连结ＣＧ,再证△B ＤC ≌△AGC ，得出B Ｄ=ＡG ，从而DB ＋CD ＝D Ａ。

【例5】. 如图，已知四边形AB ＣD 内接于⊙O,AB 是直径,AD ＝DC ，分别延长BA 、CD 交于点E ，B Ｆ⊥EC 交ＥC 的延长线于Ｆ，若EA ＝AO ，BC ＝12，求ＣF 的长。

分析：在Ｒt △CFB 中,已知B Ｃ=１2，求CF,故可寻找与之相似的直角三角形,列比例式求解。

解：连结OD ，BDAD DC AD DC ==，∴⌒⌒∴∠ABC ＝∠AOD ∴ＯD ∥ＢＣ ∴OD BC EOEB=∵ＥA=AO ，∴ＥA=AO=BO BC OD OD ===1212238，∴，∴ ∴AB ＝16，BE=２4∵四边形ABC Ｄ内接于⊙Ｏ ∴∠EDA=∠EBC ∵∠E 是公共角 ∴△ED Ａ∽△EBC ∴AD BC EA EC EDEB==设A Ｄ=DC=x,ED=y ，则有x y x y12248==+ 解方程组，得：x =42 ∴=AD 42 ∵AB 为⊙O 的直径∴∠ADB ＝∠F=９０° 又∠DA Ｂ＝∠F ＣＢ ∴Rt △ADB ∽Rt △CF Ｂ∴==AD CF AB BC CF ，即421612∴=CF 32说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。

此题运用了两次相似三角形,找到线段之间的关系,并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。

【例6】． 如图,已知等腰△ＡＢＣ中,AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交ＡC 、BC 于点、，过作⊙的切线交于，若＝，，求的长。

F D D O FC E AF 7cosB CE =35解：连结FD∵ＡB 是直径,∴AD ⊥ＢC∵AB ＝A Ｃ，∴B Ｄ＝ＤＣ,∠FA Ｄ=∠DAB ∵四边形ＡB ＤF 是圆内接四边形 ∴∠ＣF Ｄ=∠B ∵∠Ｃ是公共角 ∴△ABC ∽△DF Ｃ ∴CD AC DFAB=∵ＡB ＝AC ∴CD ＝ＤF(也可以证∠CFD ＝∠Ｂ,∵AB=AC ，∴∠B=∠C,∴∠Ｃ＝∠ＣFD ，∴ＣＤ=DF 。

） ∵ＤＥ切⊙O 于D ∴∠F ＡD ＝∠E ＤF又∵∠CD Ｅ＋∠EDF=∠FAD+∠DAB ∴∠C ＤE ＝∠ＤＡB ∴∠CDE=∠ＥDF ∵CD ＝ＦD∴CE ＝EF,D Ｅ⊥CFcosB B C ==35，∠∠ ∴=cosC 35在中，Rt ACD C CD AC ∆cos ==35∴设ＣD ＝3x ，A Ｃ=5x 在中，，即Rt CDE C EC CD ECx∆cos ==353 ∴=EC x 95AC AF CE =+2∴=+57185x xx =5∴ＥC ＝９【例7】. 如图,相交两圆的公共弦长为１２0cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。

求两圆相交弧间阴影部分的面积。

解：∵公共弦AB ＝120 ∴==a R 46120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=∠====O a R AB o1446012022602，， ()∴=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-==r R a O o 442422222602606090，∠S S S R a r AmB AO B AO B弓形扇形=-=-=-229036012180036004244∆ππS S S R a r AnB AO B AO B弓形扇形=-=-=-1160360122400360036266∆ππ()∴=+=-+S S S AmB AnB 阴影弓形弓形4200360013π()[]∴-+两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600132πcm【例8】.一个长方体的香烟盒里,装满大小均匀的2０支香烟。

打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行,如图（1)所示。

经测量，一支香烟的直径约为０.75c ｍ，长约为8．4ｃm 。

（1)试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值)。

（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173.解题点拨：四边形ABCD 中,ＡD 长为７支香烟的直径之和，易求；求A Ｂ长，只要计算出如图(2）中的O 1E 长即可。