第四章 第二次作业及答案1. 考虑地球为自转椭球模型，请推导地面返回坐标系及弹道坐标系(半速度坐标系)下航天器无动力再入返回质心动力学方程和运动学方程，以及绕质心旋转动力学和运动学方程。

解答：（1）地面返回坐标系：原点位于返回初始时刻地心矢径与地表的交点处，ox 轴位于当地水平面内指向着陆点，oy 垂直于当地水平面向上为正，oz 轴形成右手坐标系。

地面返回坐标系下的动力学方程：与发射坐标系下的动力学方程形式相同，令推力为0即可得到。

（2）弹道（航迹，半速度）坐标系定义：原点位于火箭质心，2ox 轴与速度矢量重合，2oy 轴位于包含速度矢量的当地铅垂平面内，并垂直于2ox 轴向上为正，2oz 轴形成右手坐标系。

由于弹道坐标系是动坐标系，不仅相对于惯性坐标系是动系，相对于地面返回坐标系也是动系，在地面坐标系下的动力学方程可以写为：惯性系下：22222()=F=++m e e e d m m m m t dt tδδδδ=+⨯+⨯⨯r r rωωωr P R g地面系下：22=++m -2-()e e e m m m t tδδδδ⨯⨯⨯r rP R g ωωωr弹道系下：22=()=++m -2-()t e e e m m m m m t t t tδδδδδδδδ'=+⨯⨯⨯⨯'r v v rωv P R g ωωωr 式中，tδδ''v 表示速度矢量在弹道坐标系的导数，t ω表示弹道坐标系相对于地面坐标系的旋转角速度，将上式矢量在弹道坐标系分解得到：速度矢量00v ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦v ，角速度矢量=tx t ty tz ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ωωωω 00cos 0sin 00sin =+=()001000sin 0cos 0cos t y L σσσθσσσσθσσθσθ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ωθσ sin 0cos 0=0cos 0sin 0cos cos 0sin 00t v v v v σθσθσσσθσθσθσθσσθσ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ωv 等式左边：()=cos t vm v tv δσθδσ⎡⎤'⎢⎥+⨯⎢⎥'⎢⎥-⎣⎦vωv 等式右边将所有力转换到弹道坐标系下，如果不方便直接转换，可以先转到地面系，然后再转到弹道系。

其中：cos cos ==sin cos sin x y z v v v v tv v θσδθσδσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦r x y z ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦r 是地面坐标系下的分量，通过运动学方程求解，=x y z x v y v z v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r2. 已知火箭发射点的经纬度为（108度E ，19度N ），发射方位角为60度。

当前火箭在地面发射坐标系的位置分量为[][]200km 45km 100m x y z =，设此时的速度矢量为：[]1500m/s 980m/s 10m/s ，求火箭此时受到的离心惯性加速度、哥氏惯性加速度以及引力加速度在地面发射坐标系下的分量，他们产生的物理原因是什么？解答：发射点的地表高度为：0,6378140,b 6356755,19e e R a ϕ=====发射点的地心矢径在地面坐标系的矢量为： 00000000000sin cos -6609119cos 6375849m sin sin 1144733x y z R R A R R R R A μμμ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，000x y z R x R y R z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r ，00000.030110.99950.0018x y z R x R y r R z +⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦r 005000cos cos 3.4449cos 2.388310cos sin -5.9667ex ey e ez B A B B A ωωωω-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，00.4724/0.32750.8183e e e ω⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ωω （1） 离心惯性加速度：0.0045()0.03030.0096ex e e e ey ez a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⨯⨯==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a ωωr （2） 哥氏惯性加速度0.11742()0.17970.0041kx k e ky kz a a ta δδ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⨯==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r a ω （3） 引力加速度当地地心纬度：sin()0.3471rad=19.9eearc r ϕω⋅==rω222222231()(15sin )9.6661232()sin 0.01052em e r m e f Ma g J r r f M a g J r r ωφφ⎡⎤'=-+-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦引力加速度分解：000.29609.66510.0088e x r e y z g g g g g ω-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=+==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦g r ω3. 接上题，设此时火箭姿态角（俯仰、偏航，滚转）为35-0.320⎡⎤⎣⎦，火箭的阻力系数为0.2，升力系数0.6y C α=，火箭直径2.25m ，火箭质量为100吨，发动机推力为180吨，则计算0.1s 后火箭的速度。

解答：弹道倾角为：arctan33.1604y xv v θ== ，弹道偏角为：arctan 0.3198z v vσ=-=-由欧拉角关系方程可解得攻角、侧滑角和速度滚转角为： 1.8422,0,0.0103v αβγ===//14.30920/0.86000/0.1055x x ex kx y B V y ey ky z z ez kz v P m X m g a a v Y m g a a v Z m g a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦G G1501.4309980.086010.0105x x x y y y z z z T T v v v v v T v v v v +∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∆=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4. 接上题，此时角速度矢量为：o o11100.01/s 1.5/s Tx Ty Tz ωωω⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，求0.1s 后火箭的姿态角。

解答：11111100.00020.0261x Tx ex y Ty G ey z Tz ez ωωωωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦B111sin 01cos sin cos 0cos cos sin 0x y z ωψϕωψγγψωψγγγ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1111sin 010.0261cos sin cos 00.0002cos cos sin 00.0001x y z ϕψωψψγγωγψγγω---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 34.85030.31900.0006s T T T ϕϕϕψψψγγγ+∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦5. 发射点参数同第2题，已知发射坐标系下火箭关机点的速度矢量和位置矢量为：[]=7326.72819.6178.4m/s xyz v v v ⎡⎤=⎣⎦v ，[][]1600km 250km 15m p x y z ==r ，求火箭在当地轨道坐标系下的速度矢量和地心矢径矢量，并求此时的轨道方程，判断该火箭此时能否成功发射人造卫星。

解答：发射坐标系下的地心矢径矢量为：000x y z R x R y R z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r当地弹道倾角：arcsin 0.6032rv⋅Θ==r v rad在当地轨道坐标系下的速度矢量：*sin *cos 4454.86466.6o v v =Θ+Θ=+v i j i j 在当地轨道坐标系下的地心矢径矢量：6814756m o r ==r i动量矩矢量为：=⨯h r v ，动量矩大小为：10cos 4.406810h rv =Θ=⨯ 264.872110h p μ==⨯能量参数：2/ 1.0542k v r νμ==偏心率矢量：2(cos 1)sin cos 0.28510.4925k νν=Θ--ΘΘ=--e i j i j0.5691e =真近点角：cos() 2.0955rad f a re⋅==r e当前高度为：0440.54km h r R =-= 近地点高度：/(1)3105.1km p r p e =+= 远地点高度：/(1)11306km a r p e =-= 设最低入轨高度要求：6378km 200km L r =+ 由于p L r r <，故不能成功发射人造卫星。

6. 简述航天器再入的类型和各自的特点。

再入过程中，一般要考虑哪些约束。

总攻角、配平攻角是如何定义的。

解答：略。