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自学导引
1．圆的切线的性质定理及推论 (1)定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 ． (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 ． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 ．
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推敲引申：(1)本定理及其两个推 论可以用一个定理叙述出来，即： 如果圆的一条直线满足以下三个 条件中的任意两条，那么就一定 满足第三条．它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心． (2)本定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直 线与圆的切线垂直．如图所示，若直线l切⊙O于A，直线l′经过点 O、A，则直线l′⊥l.
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证明 连接OD和AD，如图所示． ∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 反思感悟 判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法 ①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连 接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”； ②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂 线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”．
圆的切线的性质及判定定理
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【课标要求】 1．理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及 推论解决相关的几何问题． 2．能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成 的定理．
【核心扫描】 1．圆的切线的判定定理、性质定理的理解．(重点) 2．用切线的判定定理、性质定理解决问题．(难点)
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说明：(1)命题左边反映的是两个图形(直线和圆)的位置关系，右 边反映的是两个数量的大小关系． (2)对于两个图形(直线l和⊙O)的位置关系，或两个数(d和r)的大 小关系，有且仅有一种情况是成立的． (3)从左端推出右端是直线和圆的位置关系的性质，从右端推出左 端是直线和圆的位置关系的判定．
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课ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且 AD＋BC＝AB，AB为⊙O的直径． 求证：⊙O与CD相切．
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证明 过 O 作 OE⊥CD，垂足为 E.
因为 AD∥BC，∠C＝90°，所以 AD∥OE∥BC.
OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q， 过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R， 求证：RP＝RQ.
[思维启迪] 已知QR是⊙O的切线，可利用切线的性质定理， 即OQ⊥RQ.另外，要证RP＝RQ，只要证∠RPQ＝∠RQP即可， 只要证∠BPO＝∠PQR即可，再结合OQ⊥RQ.
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证明 连接OQ.因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR. 因为OB＝OQ，所以∠B＝∠OQB. 因为BO⊥OA， 所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ， ∠PQR＝90°－∠OQP. 所以∠RPQ＝∠PQR. 所以RP＝RQ. 反思感悟 题目中若有圆的切线，首先可以连接圆心和切点，出 现垂直关系．
理
是圆的切线
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推敲引申：(1)圆的切线的判定定理还可表述为：如果一条直线经 过圆的一条半径的外端点，并且垂直于这条半径，那么这条直线 就是这个圆的切线． (2)判断一条直线是否是切线的三种方法中：②③是由①推出的； ②是用数量关系来判断；③是用位置关系来判断．
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名师点睛 1．直线与圆的位置关系的性质和判定
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和⊙O相交⇔d<r(如图(1)所示)； (2)直线l和⊙O相切⇔d＝r(如图(2)所示)； (3)直线l和⊙O相离⇔d>r(如图(3)所示)．
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2．圆的切线的性质与判定的综合运用 在解决有关圆的切线问题(无论是计算还是证明)时，通常需要添加 辅助线．一般地，添加辅助线有以下规律： (1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂 直于切线． (2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点， 则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为 “连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心 作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简 记为“作垂直，证半径”．
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因为 O 为 AB 的中点，所以 E 为 CD 的中点．
所以 OE＝12(AD＋BC)．
又因为 AD＋BC＝AB，
所以 OE＝12AB，
且等于⊙O 的半径．
所以⊙O 与 CD 相切．
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题型二 圆的切线性质定理的应用 【例2】 如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是
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题型一 圆的切线的判断 【例1】 如图所示，在△ABC中，
已知AB＝AC，以AB为直径的 ⊙O交BC于点D，DE⊥AC于 点E. 求证：DE是⊙O的切线． [思维启迪] 利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的 两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．
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2．圆的切线的判定定理
(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径 的 直 线 是 圆 的 切
线．
(2)圆的切线的判断方法
判断方法
语言描述
①定义法
和圆有且只有一个公共点的直线是圆的 切线
圆心到直线的距离等于半径的直线是圆 ②数量关系法
的切线
③切线的判定定 过半径的外端且与这条半径垂直的直线