例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O
B
7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
O
C
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切 线交OA的延长线于R,. 求证:RP=RQ
4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 在直线上任取异于A的点B.
l
A
B
连OB.
则在Rt△ABO中
OB>OA=r
O
故B在圆外
.直线与圆只有一个公共点, 是切线.
5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
12 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
小结:
1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经 过 切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则 OA ⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
13 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
l
A
M
反 证 法
假设不垂直, 作OM⊥ l 因“垂线段最短”,
O
故OA>OM, 即圆心到直线距离小于半径. 这与线圆相切矛盾.
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
思考:
切线的性质定理逆命题是否成立?
B
P O Q
A R
∠AQO= ∠APQ
9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC 平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线.
C
D
3 1 4 2
A
O
B
△COD与COB全等
10 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
作业:
如图，AB为⊙O的直径，AD平分<BAE ，DE⊥AC交 AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝3,⊙O的半径为5， 求BF的长．
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
16 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)定理：过半径外端点且与这条半径 垂直 的直线是圆 的切线． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定， 而(3)是用位置关系加以判定的．
14 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
三. 圆的切线的性质及判定定理
圆与直线的位置关系:
相交-----有两个公共点 相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点
3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
4. 如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA
到 E，使AE＝AB，连接ED.
(1)求证：直线ED是⊙O的切线； (2)连接EO交AD于点F，求证： EF＝2FO.
11 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
解：(1)证明：连接 OD. ∵四边形 ABCD 为正方形， AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD， ∠EAD＝∠DAB＝90° . ∴∠EDA＝45° ，∠ODA＝45° . ∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA＝90° . ∴直线 ED 是⊙O 的切线． (2)作 OM⊥AB 于 M. ∵O 为正方形的中心，∴M 为 AB 的中点． ∴AE＝AB＝2AM，AF∥OM. EF AE ∴FO＝AM＝2，∴EF＝2FO.
[证明]
(1)连接 OD，
∵AD 平分<BAE ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OD， ∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3.
∴OD∥AE. ∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，即 DE 是⊙O第二讲 直线与圆的位置关系
(2)过 D 作 DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在 Rt△ODG 中，OG＝ 52－32＝4， ∴AG＝4＋5＝9. ∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB. ∴△ADG∽△AFB. DG AG ∴ BF ＝ AB. 3 9 10 ∴BF＝ .∴BF＝ . 10 3